Koeffizienten einer Potenzreihe

30.04.2006, 13:48

zeta21

Koeffizienten einer Potenzreihe

Hallo!

Ich komme hier einfach nicht weiter:
Bestimme für k=1,..,5 die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty a_k x^k \end{eqnarray*}$
der Funktion x -> $\begin{eqnarray*} sin(xe^x) \end{eqnarray*}$

ich kann die Potenzreihen von sin x und $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ einfach verwenden und muss sie nicht entwickeln.

Komme überhaupt nicht weiter...

30.04.2006, 13:52

phi

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RE: Koeffizienten einer Potenzreihe
Hallo,

Zitat:

Original von zeta21
...ich kann die Potenzreihen von sin x und $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ einfach verwenden und muss sie nicht entwickeln.

Dann schreib sie doch erstmal hin. Wie lauten sie denn?

mfg, phi

30.04.2006, 13:58

zeta21

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die $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ -Reihe sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$

und die sin x -Reihe so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$

30.04.2006, 14:01

zeta21

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Das Problem ist, dass ich dann, wenn dich die Reihen in die Funktion einsetze, ZWEI Summen mit unterschiedlichen Laufvariablen hab...

ich kanns halt nicht...

30.04.2006, 14:10

phi

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Okay, und dann ist für k=1,...,5

$\begin{eqnarray*} y= xe^x=\sum_{k=0}^{5} \frac{x^{k+1}}{k!} \end{eqnarray*}$

und damit du nicht durcheinander kommst nenne den index bei der 2. Reihe halt i.

$\begin{eqnarray*} sin y=\sum_{i=0}^{5} (-1)^i \frac{y^{2i+1}}{(2i+1)!} \end{eqnarray*}$

1.Schritt: Schreib die 1. Reihe erstmal vollständig aus.

2. Schritt: Setzt dieses y in die 2. Reihe ein.

mfg, phi

30.04.2006, 14:13

Leopold

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Schreibe das einfach ausführlich hin. Dann wird es klarer.

$\begin{eqnarray*} x \operatorname{e}^x = x + x^2 + \frac{1}{2} x^3 + \frac{1}{6} x^4 + \frac{1}{24} x^5 + \ldots \end{eqnarray*}$

Dies einsetzen in

$\begin{eqnarray*} \sin{t} = t - \frac{1}{6} t^3 + \frac{1}{120} t^5 - \frac{1}{5040} t^7 \pm \ldots \end{eqnarray*}$

gibt

$\begin{eqnarray*} \left( x + x^2 + \frac{1}{2} x^3 + \frac{1}{6} x^4 + \frac{1}{24} x^5 + \ldots \right) - \frac{1}{6} \left( x + x^2 + \frac{1}{2} x^3 + \frac{1}{6} x^4 + \frac{1}{24} x^5 + \ldots \right)^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} + \frac{1}{120} \left( x + x^2 + \frac{1}{2} x^3 + \frac{1}{6} x^4 + \frac{1}{24} x^5 + \ldots \right)^5 - \frac{1}{5040} \left( x + x^2 + \frac{1}{2} x^3 + \frac{1}{6} x^4 + \frac{1}{24} x^5 + \ldots \right)^7 \pm \ldots \end{eqnarray*}$

Und jetzt alle Klammern nur so weit ausmultiplizieren wie Potenzen höchstens vom Exponenten 5 entstehen.

30.04.2006, 14:27

zeta21

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Super, das hört sich ganz klasse an. ich versuch das gleich mal...

30.04.2006, 14:43

zeta21

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also mein Ergebnis ist:

$\begin{eqnarray*} x+x^2+ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{3}x^4 - \frac{11}{30}x^5... \end{eqnarray*}$

sieht komisch aus...
kann das stimmen?

30.04.2006, 14:57

zeta21

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da ist ein riesen fehler drin seh ich grad naja...
jetzt weiß ich wies geht, danke...

30.04.2006, 15:23

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Die ersten vier Koeffizienten stimmen, nur der vor $\begin{eqnarray*} x^5 \end{eqnarray*}$ ist noch falsch.

30.04.2006, 16:12

zeta21

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also das richtige ergebnis ist hoffentlich

$\begin{eqnarray*} x+x^2+ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{3}x^4 - \frac{7}{10}x^5 - \frac{7}{10}x^6... \end{eqnarray*}$

jetzt weiß ich nur nicht, ob die vorzeichen auch korrekt sind...

30.04.2006, 17:40

phi

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Doch die Vorzeichen stimmen. (Koeffizienten auch) Freude