Funktions Aufgabe

Neue Frage »

Kronos Auf diesen Beitrag antworten »
Funktions Aufgabe
Hallo!
Ich hab ein Problem und zwar muss ich eine Aufgabe fuer Mathe als Referat halten, verstehe jedoch die Aufgabe nicht so richtig Smile

a)
Begründe anschaulich:
Ist eine differenzierbare Funktion eine gerade Funktion (Graph Sym. zur Y-Achse), dann ist ihre Ableitung ungerade (Graph punktsym. zum Ursprung)
Analog: Ist f ungerade, dann ist f' gerade.

b) Begründe diese Feststellung durch Termvergleich entsprechender ganzrationaler Funktionen.

c) Welcher Satz von a) ist umkehrbar, welcher nicht ?

Soviel zur Aufgabenstellung.
Ich hab natürlich auch einen Lösungsvorschlag, jedoch weiss ich nicht ob es so stimmt:

a)
n = gerade

ax^n -> exponent gerade -> Achsensymetrisch zur Y-Achse
ax^n-1 -> exponent ungerade -> Punktsymetrisch

Da meinte mein lehrer das es unvollstaedig waere - ich sollte ein Beispiel zeichnen, also x^2 und x und dann irgendwie einen zusammenhang mit der spiegelung erklaeren bzw. irgendwie das es gespiegelt(negativ) rauskommt.

b)
Sym. zur Y-Achse (gerade Fkt.)

f(x) = f(-x)

f�r Gerade:

f(x) = ax^n + bx^n

f(x) = f(-x)

ax^n + bx^n = a(-x^n) + b(-x^n)

ax^n + bx^n = ax^n + bx^n




Punktsym. zum Ursprung (ungerade):

f'(-x) = - f'(x)

f�r ungerade:

f'(x) = n*ax^n-1 + n*bx^n-1

f'(-x) = - f'(x)

n*a(-x^n-1) + n*b(-x^n-1) = - (n*ax^n-1 + n*bx^n-1)

- n*ax^n-1 - n*bx^n-1 = - n*ax^n-1 - n*bx^n-1

c)
Kein plan

Waere nett wenn mir da jemand helfen könnte. Mathe ist einfach nicht mein Fach.
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Funktions Aufgabe
Zitat:
Original von Kronos
a)
Begründe anschaulich:
Ist eine differenzierbare Funktion eine gerade Funktion (Graph Sym. zur Y-Achse), dann ist ihre Ableitung ungerade (Graph punktsym. zum Ursprung)
Analog: Ist f ungerade, dann ist f' gerade.

a)
n = gerade

ax^n -> exponent gerade -> Achsensymetrisch zur Y-Achse
ax^n-1 -> exponent ungerade -> Punktsymetrisch

Da meinte mein lehrer das es unvollstaedig waere - ich sollte ein Beispiel zeichnen, also x^2 und x und dann irgendwie einen zusammenhang mit der spiegelung erklaeren bzw. irgendwie das es gespiegelt(negativ) rauskommt.


Meiner Meinung nach auch unvollständig, da das nicht nur bei ganzrationalen Funktionen gilt. Meine Idee wäre, den Zusammenhang für gerade Funktionen auf beiden Seiten abzuleiten. Dann sieht man es sehr gut. Das geht aber nur, wenn ihr die Kettenregel schon kennt.

Zu Aufgabe c)
Wie lautet denn deiner Meinung nach die Umkehrung? Mach dir das erstmal klar. Vielleicht kommst du dann selbst auf die Lösung.
Kronos Auf diesen Beitrag antworten »

Achso,
also Bsp:

a)
f(x) = x^2 (gerade)
f'(x) = 2x (ungerade)

1)
f'(x) = f'(-x)
2x = -2x --> wird dann ja praktisch Achsensym. gespiegelt

2)
f'(-x) = -f'(x)
-2x = -2x --> punktspiegelung

Ist dann aber 1) oder 2) die richtige lösung ?
oder beide?

Na ja und bei der c)
Wenn ich eine ungerade Funktion ableite wird sie ja gerade.
also z.B:
x^3 -> 3x^2

Aber ist das die Antwort auf die Frage ?

Vielen Dank im Voraus !
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Bei a) und b) reicht es nicht aus, eine bestimmte Funktion zu nehmen. Es könnte Zufall sein, dass die zu beweisende Aussage auf die Funktion f(x)=x^2 wahr ist. Deswegen musst du es ein bißchen allgemeiner machen. Sagt dir die Kettenregel schon was? Damit kannst du ganz allgemein beide Seiten der Gleichung ableiten.

Zitat:
Original von Kronos
Na ja und bei der c)
Wenn ich eine ungerade Funktion ableite wird sie ja gerade.
also z.B:
x^3 -> 3x^2

Aber ist das die Antwort auf die Frage ?


Nein, mit der Umkehrung meinte ich folgendes:

Du hast eine "Wenn-Dann-Aussage". Wenn eine Funktion f gerade ist, dann ist ihre Ableitung f' ungerade.

Die Umkehrung wäre, wenn du die Aussage "rückwärts" lesen würdest. In diesem Fall: Wenn eine Ableitung f' ungerade ist, dann ist f gerade[/b].

Du musst dir jetzt überlegen, ob diese Aussage richtig oder falsch ist. Wenn du ein einziges Beispiel findest, für das die Aussage nicht stimmt, so ist die Aussage falsch. Oder du beweist, dass sie richtig ist.

Die Umkehrung der zweiten Behauptung aus Aufgabe a) darfst du dir selbst überlegen Augenzwinkern

EDIT
Zitat:
f'(x) = f'(-x)
2x = -2x --> wird dann ja praktisch Achsensym. gespiegelt


Damit hast du nur gezeigt, dass die Ableitung nicht gerade ist, da in diesem Fall
Kronos Auf diesen Beitrag antworten »

Also wir haben jetzt erst die Produktregel durchgenommen.
(Also f'(x) = v(x)u'(x) + v'(x)u(x) )

Wie müsste man denn an so einen Beweis rangehen ?
Bzw. wie könnte man es allgemeiner ausdrücken ?

Anstatt:

f(x)= ax^n -> exponent gerade -> Achsensymetrisch zur Y-Achse
f'(x) n*ax^n-1 -> exponent ungerade -> Punktsymetrisch

Ich versteh das Problem der Aufgabe leider nicht smile

Und wie findet man heraus das es Funktionen gibt die nicht umkehrbar ableitbar sind ?

Danke schon mal !
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

*grübel* Ohne Kettenregel wüßte ich spontan nicht, wie man a) zeigen sollte. Mehr als der von dir gepostete Ansatz fällt mir da auch nicht ein.

Mit der Kettenregel wäre es allgemein folgendes:

Da f gerade ist, gilt

Die linke Seite ableiten ergibt: .
Die rechte Seite ableiten ergibt .

Und damit kannst du dir dann die Bedingung für ungerade Funktionen zusammenstellen, nämlich

Aber das nur mal so nebenbei. Ohne Kettenregel wirst du die Ableitung von f(-x) leider nicht verstehen.

Zitat:
Und wie findet man heraus das es Funktionen gibt die nicht umkehrbar ableitbar sind ?


Das musst du nicht finden. Du brauchst eine Funktion f, die weder gerade noch ungerade ist, deren Ableitung aber gerade ist. Gibt es eine solche Funktion überhaupt?

Und wie ist das bei der anderen Behauptung, dass wenn eine Ableitung f' ungerade ist, die Funktion f gerade ist? Ist es möglich, dass es eine Funktion gibt, bei der dies nicht gilt?

Überlege dir in beiden Fällen, wie sich die Symmetrie und die Ableitung verhält, wenn du f in Richtung der y-Achse nach oben oder unten verschiebst.
 
 
Kronos Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte man da als Beispiel vielleicht Cos und Sin nehmen ?

Weil:
Sin = Punktsym. -> Cos = Achsensysm.

Stimmt es dass:
x^2+2x
nicht mehr Achsensym. ist ?
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

ist Durchaus Achsensymetrisch, aber nicht zur y-Achse falls du das meinst.

Um genau zu sei, ist Jede Quadratische Parabel Zu der Normalen im Scheitel symetrisch.

\\edit: @ calvin: ja ich meinte die y-achse ^^
danke für den hinweis, habs korrigiert.
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lazarus
ist Durchaus Achsensymetrisch, aber nicht zur x-Achse falls du das meinst.


Du meinst die y-Achse Augenzwinkern

@Kronos

Die Funktion f(x)=x^2+2x ist weder gerade noch ungerade. Da hast du Recht.

Was im Teil a) ausreichend ist, wird dir am besten dein Lehrer sagen können. Ohne Kettenregel wird es meiner Meinung nach immer ungenau bleiben. f(x)=sin(x) ist genauso ein Beispiel wie f(x)=2x^2+3. Da ist die anfangs von dir genannte Funktion f(x)=ax^n mit geradem/ungeradem n schon eher geeignet. Dein Lehrer wird dir sicher am besten sagen können, was da gefragt ist.

EDIT

Oh Mann, ich habe ganz übersehen, dass oben steht, wie du Teil a) zeigen sollst Hammer
Zitat:
Da meinte mein lehrer das es unvollstaedig waere - ich sollte ein Beispiel zeichnen, also x^2 und x und dann irgendwie einen zusammenhang mit der spiegelung erklaeren bzw. irgendwie das es gespiegelt(negativ) rauskommt.


Du sollst die Behauptung anschaulich am Beispiel f(x)=x^2 (gerade Funktion) und g(x)=x (ungerade Funktion) zeigen. Zeichen dir mal die Funktion und überlege dir, wie die Steigungen an einer beliebigen Stelle und der gespiegelten Stelle zueinander stehen.
Kronos Auf diesen Beitrag antworten »

Juhu smile
Genau das hat mein lehrer heute auch gemeint dass ich eine tangente einzeichnen soll und die spiegeln soll oder so. Leider kann ich nicht so wirklich etwas damit anfangen.

Also die Ableitung = die Steigung
Was meinst du mit beliebigen Stelle bzw. wie sie zueinander stehen ?

Also wenn ich eine Tangente an x^2 zeichne , die dann spiegle , dann bekomm ich ja wieder eine Tangente nur im (-) negativen Bereich.
Meinst du sowas ?

Also die steigung bei
x > 0 -> steigend
x < 0 -> fallend
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kronos
Also die Ableitung = die Steigung
Was meinst du mit beliebigen Stelle bzw. wie sie zueinander stehen ?

Also wenn ich eine Tangente an x^2 zeichne , die dann spiegle , dann bekomm ich ja wieder eine Tangente nur im (-) negativen Bereich.
Meinst du sowas ?

Also die steigung bei
x > 0 -> steigend
x < 0 -> fallend


Der Ansatz ist gut, aber der letzte Absatz sagt nichts genaues über die Symmetrie aus.

Ich meine folgendes: Du nimmst z.B. die Funktion f(x)=x^2 und zeichnest eine Tangente z.B. im Punkt P(2/4). Diese hat eine bestimmte Steigung. Nennen wir sie mal a.

Überlege dir jetzt mal, welche Koordinaten der Berührpunkt hat, wenn du die Tangente an der y-Achse spiegelst. Und welche Steigung hat die gespiegelte Tangente?
Kronos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Steigung der Tangente ist gleich der ersten Ableitung von f an der Stelle x0, also gleich f'(x).

Also die Steigung

im also P(2|4)

a) Also ich zeichne morgen als Beispiel eine Parable x^2 und auf beiden Seiten eine Tangente die die Parabel im Punkt (2|4) und P2(-2|4) berührt.

Die Steigung der Tangente wäre dann ja einmal
f'(x) und einmal f'(-x)
also 2x = -2x

also f'(x) = f'(-x) bei gerader Funktion.

Nur wie mach ich das bei ungerader Funktion.

f'(x) = 2x
f'(-x) = - f'(x)
-2x = -2x ?

die b) ist übrigens so richtig wie ich es gemacht hab hat er gesagt.

und die c) müsste ich dann auch lösen, argh.

Weiter weiss ich dann aber auch nicht.

AHHH Hilfe hab nur noch bis Dienstag smile
Kronos Auf diesen Beitrag antworten »

ich brauch es bis morgen !!!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »