Arbeitsintegral - Aufgabe

25.07.2008, 17:07

pingu

Arbeitsintegral - Aufgabe

Hallo zusammen,
Ich habe ne Frage zur folgenden Aufgabe:
Gegeben ist der Kreis K mit Radius 2, der durch die beiden Punkte (1,0) und (-1,0) geht und dessen Mittelpkt in der unteren Halbebene liegt. Berechne die Arbeit des Vekrofeldes v(x,y) = (-y,x) längs der beiden von (1,0) nach (-1,0) führenden Kreisbögen von K.

Daraus erhalte ich als Mittelpkt $\begin{eqnarray*} M=(0,-\sqrt{3} ) \end{eqnarray*}$ .
Danach für die Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma1 : [0,\frac{\pi}{3}] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi\Rightarrow \begin{pmatrix} 2cos(\phi+\frac{\pi}{3}) \\ 2sin(\phi+\frac{\pi}{3})-\sqrt{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt hätte och das mal die Ableitung davon gerechnet und dann integriert, aber das ergibt nicht das richtige Ergebnis. Was ist an meiner Überlegung falsch bzw. was müsste ich sonst tun?

lg

25.07.2008, 17:46

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Bisher ist alles richtig. Wie hast du genau weitergerechnet?

Ich habe oben herum 0,72 und unten herum -24,41 als Arbeit.

25.07.2008, 19:13

pingu

Auf diesen Beitrag antworten »

Also so:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}~\begin{pmatrix} 2cos(\phi+\frac{\pi}{3}) \\ 2sin(\phi+\frac{\pi}{3})-\sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}- 2sin(\phi+\frac{\pi}{3}) \\ 2cos(\phi+\frac{\pi}{3}) \end{pmatrix} ~d\phi \end{eqnarray*}$ und das ergibt dann $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}~-2\sqrt{3}cos(\phi+\frac{\pi}{3})~d\phi \end{eqnarray*}$ und weiter erhalte ich dann nach der Integration $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}+3 \end{eqnarray*}$ . Das entspricht etwa 4.73. Dein Ergebnis stimmt übrigens Freude

.

lg

25.07.2008, 20:04

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Differentialform $\begin{eqnarray*} x~\dd x + y~\dd y = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dd x \\ \dd y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ integriert. Nach Aufgabenstellung ist die Integration aber für $\begin{eqnarray*} -y~\dd x + x~\dd y = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dd x \\ \dd y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ durchzuführen.

Ich hätte übrigens anders parametrisiert:

$\begin{eqnarray*} x = 2 \cos \varphi \, , \ \ y = - \sqrt{3} + 2 \sin \varphi \, ; \ \ \varphi \in \left[ \frac{\pi}{3} \, , \, \frac{2 \pi}{3} \right] \end{eqnarray*}$

Das macht das Ganze ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ übersichtlicher.

25.07.2008, 21:16

pingu

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah prima, ja jetzt hat es geklappt, kriege dasselbe Ergebnis smile

. Kleine Frage noch zum Schluss, der 2.Vektor ist immer noch dieselbe Ableitung, die ich vorhin verwendet habe(siehe unten). Wenn du aber sagst, was ja der Aufgabe tatsächlich zu entnehmen ist, dass $\begin{eqnarray*} -y~\dd x + x~\dd y = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dd x \\ \dd y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist, hätte ich dann nicht zuerst vertauschen und erst dann ableiten müssen? Das habe ich, eben wie gesagt nicht gemacht, bin aber auf das richtige Ergebnis gekommen.

Der Beginn meiner Rechnung zur besseren Veranschauung:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}~\begin{pmatrix} -2sin(\phi+\frac{\pi}{3})+\sqrt{3} \\ 2cos(\phi+\frac{\pi}{3}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}- 2sin(\phi+\frac{\pi}{3}) \\ 2cos(\phi+\frac{\pi}{3}) \end{pmatrix} ~d\phi \end{eqnarray*}$

26.07.2008, 11:17

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von pingu
hätte ich dann nicht zuerst vertauschen und erst dann ableiten müssen? Das habe ich, eben wie gesagt nicht gemacht, bin aber auf das richtige Ergebnis gekommen.

Ist das eine Aussage oder eine Frage?
Ich verstehe weder das eine noch das andere ... verwirrt

26.07.2008, 13:37

pingu

Auf diesen Beitrag antworten »

Ne Frage. Also ich hab ja dieselbe Ableitung verwendet, wie bei meinem vorigen falschen Versuch. Also der 2.Vektor unter dem Integral ist ja jene Ableitung. Und meine Frage war nun, ob ich nicht vor dem ableiten x mit -y und y mit x vertauschen hätte müssen und erst dann ableiten. Ich habe es eben nicht so gemacht, aber die Frage ist nun, ob ich es hätte so machen müssen.

lg

26.07.2008, 14:14

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Noch einmal. Nach Aufgabe lautet das Vektorfeld $\begin{eqnarray*} v(x,y) = (-y,x) \end{eqnarray*}$ . Daher ist

$\begin{eqnarray*} \omega = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dd x \\ \dd y \end{pmatrix} = -y~\dd x + x~\dd y \end{eqnarray*}$

zu integrieren.

(Und wenn das Vektorfeld $\begin{eqnarray*} w(x,y) = \left( x+y \, , \, -x^2 + \sin y \right) \end{eqnarray*}$ heißen würde, dann wäre über

$\begin{eqnarray*} \eta = \begin{pmatrix} x+y \\ -x^2 + \sin y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \dd x \\ \dd y \end{pmatrix} = (x+y)~\dd x + \left( -x^2 + \sin y \right)~\dd y \end{eqnarray*}$

zu integrieren.)

Und wenn du

$\begin{eqnarray*} x = 2 \cos \left( \varphi + \frac{\pi}{3} \right) \, , \ \ y = -\sqrt{3} + 2 \sin \left( \varphi + \frac{\pi}{3} \right) \, ; \ \ \varphi \in \left[ 0 \, , \, \frac{\pi}{3} \right] \end{eqnarray*}$

parametrisierst, folgt, wie du korrekt gerechnet hast:

$\begin{eqnarray*} \dd x = - 2 \sin \left( \varphi + \frac{\pi}{3} \right)~\dd \varphi \, , \ \ \ \dd y = 2 \cos \left( \varphi + \frac{\pi}{3} \right)~\dd \varphi \end{eqnarray*}$

Und der Rest ist einsetzen:

$\begin{eqnarray*} -y~\dd x + x~\dd y = - \left( -\sqrt{3} + 2 \sin \left( \varphi + \frac{\pi}{3} \right) \right) \cdot \left( - 2 \sin \left( \varphi + \frac{\pi}{3} \right) \right)~\dd \varphi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} + 2 \cos \left( \varphi + \frac{\pi}{3} \right) \cdot 2 \cos \left( \varphi + \frac{\pi}{3} \right)~\dd \varphi \ = \ \left( 4 - 2\sqrt{3} \, \sin \left( \varphi + \frac{\pi}{3} \right) \right)~\dd \varphi \end{eqnarray*}$

26.07.2008, 17:33

pingu

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, alles klar, danke!

Neue Frage »

Antworten »

Arbeitsintegral - Aufgabe

Verwandte Themen