Potenzreihe mit koeffizient

30.04.2006, 17:06	zeta21	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihe mit koeffizient oh mann, wie soll das gehen? ich soll zeigen, dass die folgende Funktion $\begin{eqnarray} \frac{1-x}{1-x-2x^2} \end{eqnarray}$ für \|x\| < $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ sich in eine Potenzreihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^ \infty a_k x^k \end{eqnarray}$ mit den Koeffizienten $\begin{eqnarray} a_k =\frac{1}{3} 2^k + \frac{2}{3}(-1)^k \end{eqnarray}$ entwickeln lässt... tja und da steh ich nun ich armer tor...
30.04.2006, 17:11	Calvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Stichwort: Taylorreihe einer Funktion. Wie weit kommst du damit? EDIT Scheint aber ziemlich aufwändig zu werden. Es gibt sicher noch eine elegantere Lösung.
30.04.2006, 17:19	zeta21	Auf diesen Beitrag antworten »
taylorreihe haben wir auch nicht gemacht...
30.04.2006, 19:24	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben Zerlege den Nenner in Linearfaktoren, mache eine Partialbruchzerlegung und benutze die geometrische Reihe - fertig ist der Spaß. Gruß MSS
30.04.2006, 20:29	zeta21	Auf diesen Beitrag antworten »
und wenn du mir jetzt noch einen tipp mehr zu der geometrischen reihe gibst... ich weiß zwar was sie ist, aber eine genaue anwendung kann ich nicht, dass heißt, ich "sehe" die reihe nicht...
30.04.2006, 21:02	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Was hast du denn raus bei der Partialbruchzerlegung? Mit geometrischer Reihe ist dann natürlich $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-ax} = \sum_{n=0}^{\infty} ~ a^nx^n \end{eqnarray}$ gemeint.
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30.04.2006, 21:13	zeta21	Auf diesen Beitrag antworten »
mein Ergebnis ist (wenn es denn stimmt) $\begin{eqnarray} \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2(x+1)} - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{x - { \frac{1}{2}}} \end{eqnarray}$ dieser Koeffizient muss ja dann auch noch irgendwie eine Rolle spielen... $\begin{eqnarray} a_k =\frac{1}{3} 2^k + \frac{2}{3}(-1)^k \end{eqnarray}$ hui... dank deiner "Formel" -die ich nicht kannte... klappt's jetzt
30.04.2006, 21:47	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist keine besondere eigene Formel, sondern die ganz normale geometrische Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty}~q^n=\frac{1}{1-q} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} q=ax \end{eqnarray}$ . Deine Partialbruchzerlegung ist natürlich richtig, und in der Form $\begin{eqnarray} \frac{1-x}{1-x-2x^2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1-2x} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1-(-1)x} \end{eqnarray}$ sieht man dann auch direkt die Koeffizientendarstellung.
01.05.2006, 14:41	zeta21	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, da bin ich gestern dann auch noch drauf gekommen... merci

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