Aufgabe zum Fundamentalsatz der Algebra

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Simson Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zum Fundamentalsatz der Algebra
Hallo, habe für ein Referat eine Aufgabe zum Fundamentalsatz der Algebra, mit der ich leider nicht so ganz klar komme:

Zitat:
Anwendung des Fundamentalsatzes der Algebra auf die folgende Frage: Wie lauten die lokalen Extrema von ?


Zunächst mal leite ich f(x) ab:


Nun muss ich die Nullstellen von f' berechnen also:


Hierbei sollte jetzt vermutlich irgendwie der Fundamentalsatz der Algebra zum Einsatz kommen...
Wenn ich mich recht erinnere geht es hierbei dann um irgendwelche Linearfaktoren oder?

Wäre für ein wenig Hilfe sehr dankbar!
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

du rätst eine Nullstelle (-2 z.B.), dann kannst du mithilfe von Polynomdivision einen Linearfaktor abspalten und die Nullstellen vom restlichen Polynom ausrechnen.
mfg 20
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe hier nichts, was mit dem Fundamentalsatz der Algebra zu tun haben könnte.
Dieser besagt, dass der Körper der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen ist.
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

irrtum jochen, der fundamentalsatz besagt, dass jedes nicht konstante polynom über min. eine Nullstelle hat.
mfG 20

edit: hmm... ok, anders ausgedrückt *g*
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Oli, schau dir deine und meine Aussage an; das ist genau das gleiche, zumindest, wenn man weiß, was algebraisch abgeschlossen heißt.

Also Oli: nenene, der Punkt geht nicht an dich.




PS: Ein Körper heißt algebraisch abgeschlossen :<=> jedes nichtkonstante Polynom hat eine Nullstelle
ist eine Definition
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 20_Cent
edit: hmm... ok, anders ausgedrückt *g*


naja, feststeht, dass man das so lösen kann, wie ich gesagt habe... eine folgerung vom FSdA ist ja, dass man einen linearfaktor abspalten kann.
 
 
Simson Auf diesen Beitrag antworten »

f' hat ja offensichtlich nur eine nullstelle:


kann ich das jetzt mit einer polynomdivision beweisen?


die geht nicht auf und deshalb keine weitere nullstelle oder wie?
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du polynomdivision durch eine Nullstelle machst, MUSS die aufgehen, also hast du einen Fehler gemacht... danach kannst du pq-formel anwenden, oder mitternachtsformel, oder quadratische Ergänzung, oder...
mfG 20
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 20_Cent
naja, feststeht, dass man das so lösen kann, wie ich gesagt habe... eine folgerung vom FSdA ist ja, dass man einen linearfaktor abspalten kann.

nein, das folgt nicht aus diesem Satz, das hat damit auch nichts zu tun

hier habe ich noch nicht mal gelesen, dass wir uns über C befinden, wenn ich hier schon was von "nur eine Nullstelle" (statt dem über C richtigen "nur eine reelle Nullstelle") lese, glaube ich das auch nicht mehr.

Das das ganze eine reelle Nullstelle haben muss folgt wiederum aus dem Zwischenwertsatz der Analysis.
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin ganz sicher, dass wir im proseminar gehört haben, dass aus dem Satz folgt, dass man einen linearfaktor abspalten kann... wenn das polynom eine nullstelle hat, ist das doch auch klar.
mfG 20
Simson Auf diesen Beitrag antworten »

ups, hab mich verrechnet, die lösung der polynomdivision ist

und da keine reelle lösung mehr besitzt gibt es auch keine weitere nullstell mehr oder?
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

jedenfalls keine reellen... richtig.
Simson Auf diesen Beitrag antworten »

ja, bis zum abitur werden keine komplexen zahlen behandelt... Big Laugh
Simson Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben in der Schule zum Fundamentalsatz der Algebra aufgeschrieben:

Zitat:
Bei ganzrationalen Funktionen vom Grad sind äquivalent: , wobei ganzrational vom Grad


und dann den Beweis dazu

Das nutze ich ja auch bei der Aufgabe oben.


Ist das denn nicht der Fundamentalsatz der Algebra?
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

das ist bei unserem Proseminar eine Folgerung des Satzes...
Aber du musst ja das benutzen, was du in der Schule gerlernt hast, also ist das richtig.
mfG 20
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Simson
Zitat:
Bei ganzrationalen Funktionen vom Grad sind äquivalent: , wobei ganzrational vom Grad



So müsste es heissen:

Zitat:
Bei ganzrationalen Funktionen vom Grad sind äquivalent: , wobei ganzrational vom Grad
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

.... und g(x), wobei g ein Polynom vom Grad n-1 ist Augenzwinkern
NICHT vom Grad n


Und nein, dass ist nicht dieser Fundamentalsatz und den kann man auf Polynome in IR oder Q oder... eh nicht anwenden.
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