Konvergenz-Untersuche einer Reihe

30.04.2006, 19:10

stef123

Konvergenz-Untersuche einer Reihe

Gegeben sei folgende Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^i\begin{pmatrix}2i\\i\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Bei Anwendung des Quotientenkriterium erhalte ich r=1. Beim Wurzelkriterium macht mir zwar der Grenzwert sorgen bei der Berechnung, aber mein Taschenrechner mein s=1. Also lässt sich keine Aussage über die Konvergenz/Divergenz der Reihe machen.

Ich vermute, dass die Reihe divergent ist. Hat jemand einen Tip, wie man die Divergenz hier zeigen kann? Vergleich mit einer anderen divergenten Reihe?

30.04.2006, 19:19

20_Cent

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ich hoffe ich hab mich nicht verdacht Augenzwinkern

:

meiner meinung nach konvergiert die reihe, man kann den binomialkoeffizienten ausschreiben und dann den zähler größer machen, indem man $\begin{eqnarray*} (2i)! \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} (i!)^2 \end{eqnarray*}$ ersetzt. (ich hoffe ja, dass das größer ist, und ich die induktion im kopf richtig gemacht hab *g*)
Dann kürzen und fertig (geom. Reihe)
mfG 20

edit: mist, hab mich doch vertan, ist kleiner... grml

30.04.2006, 19:21

JochenX

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es ist natürlich $\begin{eqnarray*} (n!)^2<(2n!) \end{eqnarray*}$ , ohne Induktion ersichtlich durch einfaches Aufschreiben der Faktoren; war das die Richtung, die du meintest?

ist das ganze überhaupt eine Nullfolge, über der da summiert wird? verwirrt

30.04.2006, 19:27

20_Cent

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also ne nullfolge ists, dass ich mich vertan hab, hab ich ja schon editiert, aber was besseres fällt mir grad nicht ein...
mfG 20

30.04.2006, 19:42

Mathespezialschüler

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Die Reihe divergiert. Das sieht man z.B. mithilfe der Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{{2n\choose n}}{4^n}\geq \frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ ,

die aus dem Binomischen Satz folgt.

Gruß MSS

30.04.2006, 20:18

stef123

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Supi

Danke MSS für den Hinweis

01.05.2006, 15:49

stef123

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Die Reihe divergiert. Das sieht man z.B. mithilfe der Ungleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{{2n\choose n}}{4^n}\geq \frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ ,

die aus dem Binomischen Satz folgt.

Gruß MSS

Wie folgt denn die Ungleichung aus dem binomischen Lehrsatz?

Habe sie mit Induktion bewiesen. Aber der direkte Nachweis ist bestimmt kürzer, nur fehlt mir gerade der scharfe Blick.

01.05.2006, 18:37

Mathespezialschüler

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Nach dem Binomischen Satz hat man

$\begin{eqnarray*} 4^n=2^{2n}=(1+1)^n=\sum_{k=0}^{2n}~{2n\choose k} \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq k\leq 2n \end{eqnarray*}$ (Einfach beide Seiten ausschreiben, dann sieht man es schon):

$\begin{eqnarray*} {2n\choose k}\leq {2n\choose n} \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} 4^n=\sum_{k=0}^{2n}~{2n\choose k}\leq \sum_{k=0}^{2n}~{2n\choose n}=(2n+1)\cdot {2n\choose n} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

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