Konvergenz von Funktionenfolgen

30.04.2006, 20:22	Paul_H	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Funktionenfolgen Ich soll die Funktionenfolge $\begin{eqnarray} f_n(x) = \frac{x}{1+nx^2} \end{eqnarray}$ auf punktweise (und danach gleichmäßige) Konvergenz prüfen. Hab keine Ahnung, wie man das macht. Aber ich denke, ich müsste $\begin{eqnarray} \|f_n(x)-f(x)\| < \epsilon , \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x) = lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) \end{eqnarray}$ nach n auflösen. Da $\begin{eqnarray} f(x) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall x \in \Re \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \|f_n(x)\| < \epsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow n = \frac{1}{\epsilon x} - 1 \end{eqnarray}$ , wobei das gesuchte N jetzt die kleinere ganze Zahl von n ist. Aber das kann doch so nicht stimmen, oder? Und wie zeige ich anschließend, dass die Funktionen auch gleichmäßig konvergieren? Dafür muss ich ja irgendwie das x da rauskriegen...
30.04.2006, 20:40	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Funktionenfolgen Für die punktweise Konvergenz reicht es, den Limes n gegen Unendlich zu betrachten. Die gleichmäßige Konvergenz würde ich eher versuchen zu widerlegen: schau dir das Verhalten in einer kleinen Umgebung von x = 0 mal genauer an. Grüße Abakus
30.04.2006, 21:45	Paul_H	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, also ich sage, dass wir eine beliebig kleine Umgebung um x=0 betrachten. Sei also $\begin{eqnarray} x=\sqrt{\epsilon} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|f_n(x) - f(x)\| < \epsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \| \frac{ \sqrt{ \epsilon}}{1+n (\sqrt{\epsilon})^2} - 0\| < \epsilon \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{ \sqrt{ \epsilon}}{\epsilon^2} < 1 + n \end{eqnarray}$ Ein Widerspruch, da für beliebig kleine Epsilon der linke Teil der Ungleichung immer größer wird. Habe ich damit bewiesen, dass die Funktionenfolgen nicht gleichmäßig konvergent sind? Die gleichmäßige Konvergenz besagt ja, dass das n von epsilon abhängt, aber nicht zwangsläufig von x - im Gegensatz zur punktweisen Konvergenz. Dann müsste das doch so richtig sein, oder?
30.04.2006, 22:40	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben
30.04.2006, 23:17	Pr0	Auf diesen Beitrag antworten »
Für x=0 ist $\begin{eqnarray} f_n = 0 \end{eqnarray}$ . Sei nun $\begin{eqnarray} x\neq 0 \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} \frac{x}{1+nx^2} = \frac{1}{ \frac{1}{x} +nx} = 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ . Also konvergiert $\begin{eqnarray} f_n(x) \end{eqnarray}$ pktweise gegen die Nullfunktion.
30.04.2006, 23:21	Pr0	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur glm. Konvergenz: Man betrachte die Funktion $\begin{eqnarray} d_n(x) = f_n (x) - f(x) \end{eqnarray}$ , wobei f(x) die Grenzfunktion, hier also die Nullfkt, darstellt. Man führe eine Fktuntersuchung von d durch, bestimme das Max. von d und untersuche mit der Supremumseigenschaft, ob glm. Konvergenz vorliegt.
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