Dualraum...

30.04.2006, 23:47

kingskid

Dualraum...

Ich hab diese Basis im IR^3:

$\begin{eqnarray*} B = { \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$

und soll bei a) $\begin{eqnarray*} a_3^* (\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$ bestimmen.
hab also die 3 basisvektoren in ne matrix geschrieben und invertiert. Mein letzter Zeilenvektor ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1/2 \\ 0 \\ 1/6 \end{pmatrix} = a_3^* \end{eqnarray*}$
aber wie komm ich nun auf $\begin{eqnarray*} a_3^* (\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$ ??

bei teil b) soll man die Linearform $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} -> x_1 - x_3 \end{eqnarray*}$ als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} a_1^*, a_2^*, a_3^* \end{eqnarray*}$ schreiben.
ich mein die dualen basisvektoren hab ich ja von teil a), aber mir ist nicht klar, wie ich die linearkombination bekomm??

hab noch ein paar allgemeine verständnisfragen zu dem ganzen thema *kopfrauch*:
- " ((IR^n)*)* = IR^n (wegen dieser Eigenschaft nennt man das Dualraum)" warum gilt das?

- und warum kann ich zwischen V und V** ohne Basiswahl einen Isomorphismus angeben, aber nicht zwischen V und V* (also ohne Basiswahl) ?

- was ist genau ein Annulator? Ich hab im Skript die Definitionen *schwindligwird* :
M aus V: M° = {f aus V*|f(x) = 0 für alle m aus M} Annulator von Mund
F aus V*: F^#={x aus V| f(x)= 0 für alle f aus F} Annulator von F.
was muss ich mir da drunter vorstellen? ...alles was auf Null abgebildet wird?

- Was ist eine bilineare und nicht ausgeartete Abbildung??

bin über jede erklärung seeeeehr dankbar!!! Hilfe

01.05.2006, 23:23

Abakus

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RE: Dualraum...
Was ist erstmal $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ ? Ich nehme an, du bezeichnest so den dritten Basisvektor von B?

Wenn ja, dann wäre einfach $\begin{eqnarray*} a_3^*(x) = x \cdot a_3 \end{eqnarray*}$ .

Bei Teil b) wäre dann der Ansatz (1, 0, -1) als Linearkombination der Basisvektoren von B darzustellen.

Erstmal soweit. Zu den anderen Fragen kommen wir dann noch.

Grüße Abakus smile

02.05.2006, 01:36

PeterPan34

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a3* ist eine Abbildung, die auf den basisvekoren folgendermaßen operiert:

a3*(a1)=0
a3*(a2)=0
a3*(a3)=1 Stichwort: Kroneckerdelta

Du musst also den Vektor (1,1,1) in der Basis B darstellen und dann die Linearität von a3* ausnutzen.

02.05.2006, 13:57

kingskid

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hi! aha... vielen dank für eure tipps! smile

also die a) hab ich glaub ich rausbekommen...
d.h. auf dem weg mit der inversen matrix muss ich $\begin{eqnarray*} (1/2,0,1/6) * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\1 \end{pmatrix} = 2/3 \end{eqnarray*}$ rechnen, aber gilt das immer, dass $\begin{eqnarray*} a_3 *(x) = a_3 * x \end{eqnarray*}$ ist? und warum?

und über den andren weg:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\1 \end{pmatrix} = x a_1 + y a_2 + z a_3 \end{eqnarray*}$
d.h. $\begin{eqnarray*} a_3 * (\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\1 \end{pmatrix} ) = x a_3*(a_1)+y a_3*(a_2)+z a_3*(a_1) = 0+0+ 1*z=z \end{eqnarray*}$ wie p.p. geschrieben hat.

bei der b) hab ich folgenden ansatz probiert:
$\begin{eqnarray*} f = x_1 a_1*+ x_2 a_2* + x_3 a_3* \end{eqnarray*}$ , da die a_i* ja die Basis bilden. und dann hab ich $\begin{eqnarray*} a_1, a_2, a_3 \end{eqnarray*}$ eingesetzt, darf ich das so machen?
also: $\begin{eqnarray*} f(a_1)= x_1 a_1*(a_1) + x_2 a_2*(a_1)+x_3 a_3*(a_1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f( \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\3 \end{pmatrix}) = x_1*1+0+0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1= -1-3=-4 \end{eqnarray*}$ und entsprechend für a_2 und a_3.

wie geht das über den ansatz mit (1;0;-1) ? das ist wegen $\begin{eqnarray*} x_1-x_3 \end{eqnarray*}$ oder?

Zitat:

Zu den anderen Fragen kommen wir dann noch.

---> das wär ganz ganz ganz super!!

THX 4 help Augenzwinkern

02.05.2006, 14:52

PeterPan34

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a=2/3 hab ich auch raus, und der Ansatz von f stimmt wohl auch.
Leider weiß ich nicht wie man die Sachen mit der Inversen ausrechnen kann, vielleicht kann mir das jemand erklären.

Zitat:

hab noch ein paar allgemeine verständnisfragen zu dem ganzen thema *kopfrauch*:
- " ((IR^n)*)* = IR^n (wegen dieser Eigenschaft nennt man das Dualraum)" warum gilt das?

Diese beiden Räume sind isomorph und da der Isomorphismus nicht von der Basis abhängt sind sie auf besonders schöne Weise isomorph.

Zitat:

und warum kann ich zwischen V und V** ohne Basiswahl einen Isomorphismus angeben, aber nicht zwischen V und V* (also ohne Basiswahl) ?

Nunja rechne mal folgendes Beispiel:

V=IR^2 E=(e1,e2) natürliche Basis, v1=(2,1) v2=(e2) B=(v1,v2)

1. Sei f: V--->IR unglücklich

x1,x2)--->2x1+x2 Was sind die Komponenten von f bezüglich E* und B* ?

2. Was ist e2*(1,0) und v2*(1,0)?
3. Nun ist aber e2=v2 Was schließen sie daraus?

Also ich kann es kurz verraten, bei 2. kommt nicht das gleiche raus

Um nachzuweisen, dass V und V** isomorph sind muss man jedem Vektor aus V ein Element aus V** bijektiv zuordnen.
Was ist v** aus V**? Antwort: v** ist ein Element aus V** also eine Abbildung, die einer Abbildung ein Element aus K zuweist, d.h v** angewandt auf ein Element f aus V* soll etwas ergeben was in K liegt.
Irgendjemand hatte dann die schlaue Idee, dass dies am besten geht indem man v**(f)=f(v) definiert

Man kann dann nachrechnen dass die Abbildung, die einem v v** zuordnet linear und bijektiv ist und ist damit dann fertig. Nirgends ging ein wie der Vektor in irgendeiner Basis dargestellt wurde. Also ist das ganze von der Wahl der Basis unabhängig.

02.05.2006, 16:52

kingskid

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cool, DANKE für deine erklärungen Augenzwinkern

Zitat:

Leider weiß ich nicht wie man die Sachen mit der Inversen ausrechnen kann, vielleicht kann mir das jemand erklären.

hab das hier gelesen: link

Wenn du die Matrix mit B bezeichnest, deren Spalten gerade die $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ sind, dann ist ja $\begin{eqnarray*} B^{-1}B=E \end{eqnarray*}$ , die Einheitsmatrix. Also ist $\begin{eqnarray*} B^{-1}b_i=e_i \end{eqnarray*}$ , der i-te Standardeinheitsvektor. Somit sieht man, dass die j-te Zeile von $\begin{eqnarray*} B^{-1} \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} b_j \end{eqnarray*}$ ist. (weil $\begin{eqnarray*} b_j*b_j=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_j*b_i=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$ )

also bei der 1.) hab ich raus:
f(1,0) = 2
f(0,1)=1
f(2,1)=5
f(0,1)=1
meinst du das mit komponenten?
2.)
e_2*(e_1)=0
v_2*(1,0)=1/2 v_2*(v_1) - 1/2 v_2*(v_2) = - 1/2
3.)
$\begin{eqnarray*} e_2* \neq v_2* \end{eqnarray*}$ wie du schon verraten hast.
stimmt das so?

kannst du mir das mit dem annulator und den bilinearen und nicht ausgearteten abbildungen auch noch erklären??

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