Volumenberechnung Korbbogenboden

26.07.2008, 17:30	yo	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumenberechnung Korbbogenboden Servus, mir stellt sich folgende Aufgabe. Ich möchte das Volumen in Abhängigkeit der Höhe für einen Korbbogenboden berechnen. Hier ein Link damit man sich auch etwas darunter vorstellen kann http://won.mayn.de/bbzII/fst_03/boegen/korbb.htm . Die Seite zeigt das ganze zwar für einen Torbogen, sollte allerdings nicht weiter stören. Der Unterschied zu dem mir vorliegenden Problem ist nur, dass es sich bei meinem Korbbogenboden um einen rotationssymmetrischen Körper handelt. Ich werde im folgenden kurz meinen Lösungsansatz beschreiben und würde mich freuen wenn mir jemand feedback geben könnte inwiefern man vielleicht leichter zum Ziel kommt oder wo ich vielleicht einen Denkfehler habe. Zunächst bestimme ich die Schnittpunkte der Kreise mit den Radien $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} r_2 \end{eqnarray}$ (so gewählt wie in dem Beispiel im Link), um zu wissen welcher Kreis den Bogen in welchem Bereich definiert. Danach zerlege ich das Problem in 3 Teile (dazu ein kleines jpg im Anhang). Ich rechne zunächst nicht mit dem im Bild gezeigten Koordinatensystem, sondern wähle jeweils eins das mir für die entsprechende Form passend erscheint. Zusammengebastelt wird das ganze dann am Schluß. Teil 1: Der teil des Bogens, der durch den Radius $\begin{eqnarray} r_1 \end{eqnarray}$ beschrieben wird. Hierbei handelt es um eine Kugelhaube. Deren Volumen ergibt sich zu $\begin{eqnarray} V_k = \frac{\pi}{3} \cdot h^2 (3 r_1 -h) \end{eqnarray}$ Teil 2: Der Teil ist ein Zylinder. $\begin{eqnarray} V_z = \pi x_s^2 h_z \end{eqnarray}$ (KS: z-Achse wie im Bild, x- Achse auf $\begin{eqnarray} z_s \end{eqnarray}$ verschoben) Teil 3: Hier schaut mein Ansatz für das Volumenintegral in Zylinderkoordinaten folgendermassen aus $\begin{eqnarray} V_3 = \int_{0}^{2 \pi}~{\int_{x_s}^{x_s + r_2}~{\int_{\sqrt{r^2_2 - (r-x_s)^2}+h_z}^{h_z}}~}~r~ dz ~dr ~d\varphi~ \end{eqnarray}$ Das lässt sich so wie's ausschaut mittels der Integraltabellen im Bronstein lösen, gibt allerdings einen recht fiesen Term. Mich würde wie gesagt interessieren, ob jemand bei meinem Ansatz einen Fehler sieht oder evtl. eine bessere Idee für die Berechnung hat. edit: fast vergessen.. gegeben sind die beiden Radien, der Durchmesser des Bogens am oberen Rand und die Gesamthöhe. --- Doppelpost --- Sowas, ich wollte das eigentlich im Hochschulbereich posten. Wäre nett, wenn ein mod das kurz verschieben könnte.
27.07.2008, 02:36	yo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab eben noch einmal nen Blick drauf geworfen und die Integrationsgrenzen für Teil 3 stimmen nicht. Muss ich bissl gepennt haben. Werde das morgen früh korrigieren.
27.07.2008, 11:58	yo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Volumenintegral für den 3. Körper müsste eher so ausschauen (R ist der Radius am oberen Rand) $\begin{eqnarray} V_3 = \int_{0}^{2 \pi}~{\int_{x_s}^{R}~{\int_{-\sqrt{r^2_2 - (r-R+r_2)^2}+h_z}^{h_z}}~}~r~ dz ~dr ~d\varphi~ \end{eqnarray}$

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