Minimalpolynom finden

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Muffi Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom finden
Hi zusammen,

ich suche das Minimalpolynom über von .

Mir ist klar, dass die Exponentialfunktion -periodisch ist, deswegen habe ich als Polynom, das als Nullstelle hat , gefunden. Nun sind Minimalpolynome ja immer irreduzibel -in dem Fall hier über -, ist es aber nicht.

Ich finde kein weiteres Polynom in , das als Nullstelle, aber nicht als Teiler hat.

Könnt ihr mir ein paar Tipps geben?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch Minimalpolynom schon gefunden Augenzwinkern
Wenn f als Nullstelle hat, so ist das Minimalpolynom ein Teiler von f.
Da du bereits eine Zerlegung von f hast solltest du das Minimalpolynom leicht bestimmen können
Muffi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Du hast doch Minimalpolynom schon gefunden Augenzwinkern
Wenn f als Nullstelle hat, so ist das Minimalpolynom ein Teiler von f.
Da du bereits eine Zerlegung von f hast solltest du das Minimalpolynom leicht bestimmen können


Ich sehe immer noch nicht, was du meinst. Ich kann von doch nicht einfach abdividieren? Dann verlasse ich doch .

Wenn ich deinen Hinweis von oben noch genauer nehme (), dann müsste sein, aber ist doch keine Nullstelle von ... verwirrt

( soll hier natürlich das Minimalpolynom bezeichnen)

Oder bin ich auf dem völlig falschen Dampfer und es ist so einfach, dass ich es nicht sehe?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht wie du rechnest, aber es ist eine Nullstelle von Augenzwinkern
Muffi Auf diesen Beitrag antworten »

Oh je. Dazu sag ich lieber nichts mehr. Hammer

Danke
Muffi Auf diesen Beitrag antworten »

Eins noch:

Das hieße aber auch, dass das Minimalpolynom zu auch ist, denn hat als Nullstelle und der einzie irreduzible Faktor von , der als Nullstelle hat, ist eben .

Richtig?
 
 
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Die Faktorisierung kann doch niemals stimmen. 0 ist keine Nullstelle von aber eine von .

Du hast dich auch beim Einsetzen wieder verrechnet, setzt du in ein kommt raus.
Muffi Auf diesen Beitrag antworten »

Aua. Ich muss wohl dringend Pause machen.

Noch mal Danke. smile
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen.

übrigens, also war nicht alles falsch Augenzwinkern
Muffi Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt aber: Die richtige Faktorisierung ist natürlich , was mich im Endeffekt aber zum gleichen Ergebnis führt; nämlich, dass und das gleiche Minimalpolynom haben.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Was spricht den gegen als Minimalpolynom? smile
Muffi Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich nichts. Wir hatten ja schon, dass ... Hammer
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

hat übrigens auch als Minimalpolynom smile
Muffi Auf diesen Beitrag antworten »

Als nächstes soll ich zeigen, dass gilt ( bezeichnet hier den Quotientenkörper von ).

Dazu habe ich mir überlegt, dass bzw. gelten muss, da algebraisch über . Außerdem weiß ich, dass bzw. .

Und es gilt . Also kann ich jedes als schreiben für geeignete . Ähnlich bei : , aber .
Ich könnte also jedes als schreiben für geeignete . Das muss noch irgendwie weg.

Ich denke, dass ich nah dran bin, aber der entscheidende Schubser in die richtige Richtung fehlt noch...
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Überprüfe einmal ob mit und ein Isomorphismus ist. Das wäre zumindest meine erste Idee(beschäftige mich auch erst seit gestern mit Körpererweiterungen Augenzwinkern )
Muffi Auf diesen Beitrag antworten »

dürfte nicht surjektiv sein, da . Denn .

Hat noch jemand weitere Ideen? smile
kiste Auf diesen Beitrag antworten »


Ich bleibe bei meiner Idee Augenzwinkern

edit: Und sollte nicht gelten?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Es wurde bereits gezeigt, dass . Aus folgt und damit schon .
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das war ja einfach Freude
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