Verständnisfrage: Konvergenzkriterien

01.05.2006, 13:17

daN-R-G

Verständnisfrage: Konvergenzkriterien

Hallo ihr Lieben!

Ich habe hier ein paar Verständnisfragen zu den Konvergenzkriterien.

Also zunächst muss ich ja immer schauen, wenn ich die Konvergenz einer Reihe zeigen will, dass die zugehörige Folge eine Nullfolge darstellt, richtig?

Cauchy-Kriterium: Wörtlich gesagt bedeutet das Cauchy-Kriterium doch, dass zwei Glieder der Folge der Partialsummen ab einem bestimmten n beliebig klein voneinander abweichen, richtig?
Wo findet dieses Kriterium denn seine praktische Anwendung?

Majoranten-Kriterium: Mit diesem Kriterium zeige ich, dass eine Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~a_n \end{eqnarray*}$ dann konvergiert, wenn eine Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~b_n \end{eqnarray*}$ schon konvergiert, wobei alle $\begin{eqnarray*} b_n \geq a_n \end{eqnarray*}$ . Also wenn eine "große" Reihe schon "unendlich klein" wird, dann muss auch eine "kleinere" Reihe "unendlich klein" werden, wenn man die Konvergenz mit "unendlich klein" beschreiben will.
Als Majorante wird dann denke ich oft die geometrische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~q^n \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} |q| \leq 1 \end{eqnarray*}$

Minoranten-Kriterium: Dieses Kriterium ist dann so wie ich das verstanden habe eine Art Umkehrung des Majorantenkriterums, mit dem ich also die divergenz einer Reihe beweisen kann. Wenn also "kleine Reihe" "unendlich groß" wird, dann muss auch eine "größere Reihe" "unendlich groß" werden, also divergieren.
Zur Abschätzung wird dann meist die harmonische Reihe benutzt? Also $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~ \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Leibnitz-Kriterium: So wie ich das hier verstanden habe, konvergiert eine Reihe nach Leibnitz-Kriterium, wenn die zugehörige Folge neben einer Nullfolge noch monoton fallend ist. Also muss ich nur diese beiden Eigenschaften nachprüfen, dann konvergiert sie schon nach Leibnitz Kriterium?

Zum Quotienten- und Wurzel-Kriterium fällt mir spontan leider keine wörtliche Beschreibung ein. Vielleicht kann mir da ja jemand etwas helfen.

Ich denke es werden sich noch ein paar weitere Fragen stellen, aber es wäre mir echt schonmal geholfen, wenn mir diese hier beantwortet/bestätigt werden könnten.

Danke, daN-R-G smile

01.05.2006, 13:30

klarsoweit

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RE: Verständnisfrage: Konvergenzkriterien
Beim Majoranten-Kriterium muß es genauer heißen: b_n >= a_n >= 0.
Beim Leibniz-Kriterium konvergiert die zugehörige alternierende Reihe, nicht die Reihe selbst.

01.05.2006, 13:35

Lazarus

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RE: Verständnisfrage: Konvergenzkriterien

Zitat:

Original von daN-R-G
[...]
Zur Abschätzung wird dann meist die harmonische Reihe benutzt? Also $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~ \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

[...]

ich geh dabei mal von einem Schreibfehler aus, denn $\begin{eqnarray*} a_k=\frac{1}{n} \; \mbox{ für $n\in\mathbb N$ } \end{eqnarray*}$ ist nichtmal ne Nullfolge... $\begin{eqnarray*} a_k=\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ schon
somit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~ \frac{1}{n}>\sum_{k=1}^\infty~ \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

01.05.2006, 13:43

daN-R-G

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RE: Verständnisfrage: Konvergenzkriterien

Zitat:

Original von klarsoweit
Beim Leibniz-Kriterium konvergiert die zugehörige alternierende Reihe, nicht die Reihe selbst.

Verstehe ich nicht so ganz. Wenn ich folgende Reihe habe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~ \frac{(-1)^{n-1}}{n} \end{eqnarray*}$
Dann IST die Reihe doch selbst eine alternierende Reihe. Oder nennt man das die zu $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~ \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ alternierende Reihe?

Bei diesem Beispiel müsste ich dann also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (a_n)_{n\in \mathbb N} = \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n}) = 0 \end{eqnarray*}$ und dass die Folge monoton fällt? (Wie mache ich das jetzt?)

EDIT:

Zitat:

Original von Lazarus

Zitat:

Original von daN-R-G
[...]
Zur Abschätzung wird dann meist die harmonische Reihe benutzt? Also $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~ \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

[...]

Natürlich sollte die SUmme bei n=1 beginnen. Habs korrigiert. Danke!

01.05.2006, 13:49

iammrvip

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Verschoben

01.05.2006, 13:58

klarsoweit

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RE: Verständnisfrage: Konvergenzkriterien
Bei $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~ \frac{(-1)^{n-1}}{n} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n} \end{eqnarray*}$ die alternierende Folge. |a_n| muß dann eine monoton fallende Nullfolge sein. Hier ist |a_n| = 1/n.

Zitat:

Original von daN-R-G
Natürlich sollte die SUmme bei n=1 beginnen. Habs korrigiert. Danke!

Falsch verstanden. Der jeweilige Laufindex der Summe sollte auch in der Reihe vorkommen. Augenzwinkern

01.05.2006, 14:11

daN-R-G

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Ah... ja danke smile

Dann ist das schonmal geklärt.

Kann mir denn noch wer einmal das Quotientenkriterium wörtlich erklären? Denke dann habe ich alles geschnallt.

01.05.2006, 15:15

klarsoweit

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Beim Quotientenkriterium muß gelten:
$\begin{eqnarray*} \mid \frac{a_{n+1}}{a_n} \mid <= q < 1 \end{eqnarray*}$ ab einem n >= n_0. O.b.d.A nehmen wir n_0 = 0
Also gilt:
$\begin{eqnarray*} \mid a_n \mid <= |a_0| \cdot q^n \end{eqnarray*}$
Und damit hat man eine Abschätzung mit der geometrischen Reihe. Augenzwinkern

01.05.2006, 17:32

daN-R-G

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Einmal noch generell: Es muss bei jedem Kriterium festehen, dass die zur Reihe gehörige Folge eine Nullfolge ist, oder?

01.05.2006, 17:42

klarsoweit

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Richtig. Das ist notwendige Voraussetzung. Du kannst dir leicht überlegen, daß die Reihe zu einer Nichtnullfolge nicht konvergiert.

01.05.2006, 17:44

daN-R-G

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Und ich kann mir "leicht" überlegen, dass das dann aber nicht heißt, dass man aus einer konvergenten Folge auch auf eine konvergente Reihe schließen kann Big Laugh

Edit: Was mir anschaulich aber irgendwie noch nicht in den Kopf will, warum z.b. $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~ \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ divergiert, aber $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~ \frac{1}{k^n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n > 1 \end{eqnarray*}$ nicht. Gibts da ne "leichte" erklärung zu?

01.05.2006, 18:47

klarsoweit

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Es wäre besser, der Laufindex beginnt bei k=1.

Aöso für den Beweis braucht man das Verdichtungskriterium. Das geht so:
Sei a_k >= 0 eine monotone Nullfolge.
Eine Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~a_k \end{eqnarray*}$ konvergiert genau dann, wenn die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^{\infty}~(2^j \cdot a_{2^j}) \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Damit geht der Beweis für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty}~\frac{1}{k^n} \end{eqnarray*}$ wie folgt:

Mit dem Verdichtungskriterium ist:
$\begin{eqnarray*} 2^j \cdot a_{2^j} = 2^j \cdot \frac{1}{(2^j)^n} = \frac{2^j}{(2^n)^j} = (\frac{2}{2^n})^j = (\frac{1}{2^{n-1}})^j \end{eqnarray*}$

Da haben wir also eine geometrische Reihe, die nur dann konvergiert, wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^{n-1}} < 1 \end{eqnarray*}$
Und das ist für n > 1 der Fall.

02.05.2006, 10:30

daN-R-G

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Vielen Dank für eure Hilfe!

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