Erwartungswert von negativer Binomialverteilung

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01.05.2006, 14:17	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert von negativer Binomialverteilung Also, die Überschrift ist eigentlich selbstredend, ich soll den Erwartungswert der negativen Binomailverteilung berechnen. Ich bin hier mal nach Schema-f vorgegangen, bin aber bei $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n~\frac{(k+r-1)!}{(r-1)!(k-1)!}p^rq^k \end{eqnarray}$ hängengeblieben und komme nicht mehr weiter, wäre entweder für einen umformungstipp für obenstehenden term oder einen anderen ansatz sehr dankbar. rauskommen soll übrigens $\begin{eqnarray} r\frac{q}{p} \end{eqnarray}$ wobei bei mir r übrigens die anzahl der benötigten erfolge ist
01.05.2006, 15:06	Pr0	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert von negativer Binomialverteilung Warum (k-1)! ?
01.05.2006, 15:09	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
weil ich das k* aus der formel vom erwartungswert unten rausgekürzt habe
01.05.2006, 15:21	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versteh nicht ganz, wieso du bei der Erwartungswertbildung eine endliche Summe betrachtest. Schließlich kann die negative Binomialverteilung abzählbar viele Werte annehmen. Also am besten mal den Ansatz posten.
01.05.2006, 15:35	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
hm, ja stimmt, ok, wenn ich das ausbesser, ist mein ansatz: $\begin{eqnarray} E(X)=\sum_{k=0}^\infty ~ k\begin{pmatrix} k+r-1 \\ r-1 \end{pmatrix}p^rq^k \end{eqnarray*}$ ich bin irgendaie von endlicher anzahl an ausfällen ausgegangen.
01.05.2006, 15:45	Pr0	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der erzeugenden Fkt: $\begin{eqnarray} f_x(t) = \left( \frac{p}{1-(1-p)t} \right)^r \end{eqnarray}$ liefert $\begin{eqnarray} f_x '(1) = r\cdot \frac{1-p}{p} \end{eqnarray}$ das Gewünschte. Fertig!
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01.05.2006, 15:46	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} k\geq 1 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} k\cdot {k+r-1 \choose r-1} = \frac{(k+r-1)!}{(k-1)!(r-1)!} = r\cdot {k+r-1 \choose k-1} = (-1)^{k-1}r\cdot {-r-1 \choose k-1} \end{eqnarray}$ Also kann man den Erwartungswert schreiben als $\begin{eqnarray} E(X) = rp^rq \sum_{k=1}^{\infty} ~ {-r-1 \choose k-1} (-q)^{k-1} \end{eqnarray}$ Tja, und wie geht's hier weiter?
01.05.2006, 16:01	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
danke schonmal an pro, werd mir überlegen, ob ich diese variante wähle, muss ich nur zusehen, ob die erzeugende funktion irgendwo im skriptum schon steht, sonst muss ich sie noch herleiten. bei arthurs vorschlag seh ichs gerade nicht, vielleicht dauerts noch ein wenig, bis mir ein licht aufgeht edit: natürlich auch ein danke an arthur, sry vergessen
01.05.2006, 16:26	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
arthur ist -r-1 über k-1 nicht immer 0? weil ja k-1 größer ist
01.05.2006, 17:41	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, ist es nicht. Es geht um den Binomischen Satz, angewandt auf $\begin{eqnarray} (1-q)^{-r-1} \end{eqnarray}$ .
01.05.2006, 17:53	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
achso, danke, omg nochmal zum thema mit der erzeugenden funktion, ich soll die charakterisische funktion bestimmen, und damit erwartungswert und varianz bestimmen. ich habe als charakteristische funktion für die negative binomialverteilung: $\begin{eqnarray} (p-qe^{it})^{-r} \end{eqnarray}$ heraus, habe da auch den binomischen lehrsatz trick verwendet, stimmt die funktion?
01.05.2006, 19:02	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann schon deswegen nicht stimmen, weil stets $\begin{eqnarray} \varphi_X(0) = 1 \end{eqnarray}$ gelten muss. Aber das mit dem Binomischen Satz klappt auch hier, ich komme auf $\begin{eqnarray} \varphi_X(t) = E\left( e^{itX} \right) = \left(\frac{p}{1-qe^{it}} \right)^r \end{eqnarray}$ P.S.: Hättest gleich sagen sollen, dass du auch die charakteristische Funktion bestimmen sollst. Dann hättest du dir wegen $\begin{eqnarray} E(X) = -i\varphi'_X(0) \end{eqnarray}$ die längliche Extraberechnung des Erwartungswertes sparen können...
01.05.2006, 20:25	lego	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habs leider auch erst später gesehen, dass ich die charakterisitsche funktion bestimmen soll, ist aufm anderen übungsblatt 5 beispiele später hm, hab dann wohl irgendwo einen fehler eingebaut. aber den fínd ich schon noch. danke für die hilfe

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