Erwartungswert

27.07.2008, 16:00

alpha 54

Erwartungswert

Hey Leute,
ich habe Probleme mit der Berechnung eines Erwartungswertes.

Gegeben ist die Dichte der stetigen Zufallsgröße X mit $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} cos^2x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq \pi \end{eqnarray*}$ .
Jetzt soll ich aber den Erwartungswert für Y:= sin X berechnen!
Wie soll das gehen?

27.07.2008, 18:05

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Seltsamerweise scheint man in vielen Vorlesungen bzw. auch im Schulunterricht nichts über die Berechnung der Erwartungswerte von Funktionen von Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zu erzählen:

(1) $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ diskret:

$\begin{eqnarray*} E(g(X)) = \sum_{x_k} g(x_k)\cdot P(X=x_k) \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ stetig mit Dichte $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} E(g(X)) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x)\cdot f_X(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

Hier ist natürlich Fall (2) zutreffend, mit offensichtlicher Wahl von $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Übrigens ist

Zitat:

Original von alpha 54
Gegeben ist die Dichte der stetigen Zufallsgröße X mit $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} cos^2x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq \pi \end{eqnarray*}$

gar keine gültige Wahrscheinlichkeitsdichte. unglücklich

Kann es sein, dass du eigentlich

$\begin{eqnarray*} f_X(x) = \frac{2}{\pi} \cos^2(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq \pi \end{eqnarray*}$

meinst?

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