funktionale Gleichungen

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27.07.2008, 17:06	Liz2103	Auf diesen Beitrag antworten »
funktionale Gleichungen Moin allerseits! Bin hier ein Neuling und war eigentlich auch nur auf der Suche nach ein paar kundigen Mathematikern Naja es geht darum dass ich meine Bachelor-Arbeit schreiben will/muss! Ich bin zwar schon ganz euphorisch, aber die Infomaterial suche erweist sich als ein wenig schleppend. Was wohl auch daran liegt, das mir Fantasie fehlt an wen ich mich wenden könnte und ich lieber gleich mit meinem Thema anfangen möchte. Das geht wohl aber nicht! Schliesslich würde meine Dozentin mich wohl zum frühstück verspeisen wenn ich ihr meine Lösungenn ohne fundierte Literaturhinweise und quellenvermerke vorsetze. Deswegen wäre es echt super wenn mir jemand irgendwas zum Thema "funktionale Gleichungen" sagen könnte. (also z.Bsp. f(x+y)=f(x)+f(y) u.s.w) Auch über Büchertipps würde mich freuen! Vielen Dank schonmal! Lieben Gruß Liz
27.07.2008, 19:06	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wäre es mit speziellen Funktionalgleichungen wie $\begin{eqnarray} f(x+y) = f(x) + f(y) \end{eqnarray}$ ("Cauchysche Funktionalgleichung") $\begin{eqnarray} f(xy) = f(x)f(y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(xy) = f(x) + f(y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x+y) = f(x)f(y) \end{eqnarray}$ Setzt man zusätzlich Stetigkeit voraus, kann man die Probleme lösen und letztlich alle auf die Cauchysche Funktionalgleichung zurückführen. Nichtstetige Lösungen führen gleich in die höhere Mengenlehre (Hamel-Basis). Du könntest auch gängige Funktionalgleichungen wie $\begin{eqnarray} \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \end{eqnarray}$ untersuchen und dich um die allgemeine Lösung etwa des Problems $\begin{eqnarray} \left( f(x) \right)^2 + \left( g(x) \right)^2 = 1 \end{eqnarray}$ kümmern.
27.07.2008, 19:38	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
In diesem Artikel: lsgm.uni-leipzig.de/Bibliothek/prokert-01.ps findest du einiges wissenswertes zur Cauchyschen Funktionalgleichung f(x+y)=f(x)+f(y). Auch http://lsgm.de/KoSemNet/pdf/semmler-05-1.pdf ist ein schöner Artikel. Sie richten sich zwar eher an Schüler (aber an solche mit einem ausgeprägten Interesse für Mathematik), aber vielleicht helfen sie dir ja zu einem ersten Einblick in die Thematik. Quellen sind ebenfalls angegeben, deren Zielgruppe sind aber ebenfalls Schüler, und die Bücher dürften eventuell in Universitätsbilbiotheken in den alten Bundesländern schwer aufzutreiben sein.
27.07.2008, 20:03	Liz2103	Auf diesen Beitrag antworten »
@leopold: Vielen Dank! Das ist doch schon mal die richtige Richtung und die ersten vier sind genau die Gleichungen, die ich untersuchen möchte. Allerdings habe ich somit immer noch ein leichtes info-beschaffungs-problem! Ehm Mit der Stetigkeit, ist das ja kein Problem, aber hast du ne ahnung wie ich nun zeigen könnte, das keine anderen Funktionen gibt die diese funktionalen Gleichungen erfüllen? also bei f(x+y)=f(x)*(y) ist ja klar das für alle exponentialfkt. der fall ist. das zu beweisen dürfte auch nicht allzu schwer werden. allerdings fehlt mir der ansatz wie ich zeigen könnte das es keine anderen fkt. gibt die die gleichung erfüllen?! weisst du zudem ob die anderen gl. auchen einen schönen spezifischen namen haben?
27.07.2008, 20:05	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Im wiki-Artikel: Funktionalgleichung findest du diese und andere Funktionalgleichungen wieder. Spezielle Namen scheinen sie nicht zu haben - sie wurden jedoch in einem Zuge alle von Cauchy untersucht. air
27.07.2008, 20:07	Liz2103	Auf diesen Beitrag antworten »
@tomtomtom: auch dir vielen dank für deine Mühen! Werde mir die artikel gleich mal angucken die du mir da anbietest. Leider wird das meiner Dozentin als Quellenverweiss nicht reichen. Und wie ne irre durch die Bib laufen, um irgendwelche fleckmatischen angestellten zu hilfe zu animieren, die sowieso keinen blassen schimmer haben wovon ich rede, ist leider nicht meine lieblingsbeschäftigung. Naja und in ne buchhandlung trau ich mich wegen mathe nich mehr, dem Verkäufer musste ich analysis buchstabieren -.- Naja für weitere Vorschläge wäre ich also sehr dankbar!!
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27.07.2008, 20:09	Liz2103	Auf diesen Beitrag antworten »
@airblader: danke! Nun zweifel ich allerdings heftig an meinem Verstand! Vor zwei wochen oder so, konnte ich bei wiki nichts finden zu dem thema ô0 aber dann muss ich mir wohl mal cauchy vorknöpfen!
27.07.2008, 21:07	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne dich beeinflussen zu wollen, aber ich bin bei sowas immer eher pragmatisch veranlagt: Wenn ich mit dem Ziel, mir etwas zum Einsteig in das Thema zuzulegen, mal die ersten Seiten der Suchergebnisse nach "Functional equations" bei Amazon durchschaue, sticht mir vor allem dieses Buch ins Auge: http://www.amazon.de/gp/product/B001QQY3...ASIN=B001QQY3WI Aczél: Lectures on Functional Equations and Their Applications (Dover, 2006) ca. 21 Euro Gerade erst neu aufgelegt, als Taschenbuch preislich erschwinglich, und der Titel mit den Begriffen Lectures und Applications läßt drauf schließen, dass ich mit soliden Vorkenntnissen (sagen wir mal die Grundvorlesungen Analysis und Algebra) eine Chance habe, das Buch zu verstehen, wenn ich mich intensiv damit beschäftige. Außerdem ist es so dick, dass vermutlich nicht zu knapp geschrieben ist. Das muß keine Garantie sein, daß das Buch nicht totaler Schrott ist. Aber es ist eine einfache Variante für einen Start, schlimmstenfalls geht mathematische Fachliteratur bei ebay immer gut weg. Achja, Bibliothekare beißen übrigens nicht, und im Prinzip ist es deren Job, dir zu helfen. Irgendwo gibts sicher auch an in deiner Bibliothek Literatur zum Thema. (Ob man die ausleihen kann, ist die nächste Frage, ich arbeite lieber zu hause am Schreibtisch).
27.07.2008, 21:18	Liz2103	Auf diesen Beitrag antworten »
gg okay da tauchen gleich mehrere Probleme aufeinmal auf. Zum einem, ich hasse englisch-.- na gut ich könnte ich da durchquälen schliesslich ist das meine pflicht ô0. allerdings habe ich weder eine Vorlesung zu Analysis besucht noch denke ich das die algebra vorlesung in der ich war in irgendeinerweise ausreicht um mich durchs buch zu bringen. Okay auch das sollte mit nötigem zeitaufwand zu meistern sein. Allerdings behagt es mir durchaus mehr bei ebay mathebücher zu ersteigern, die wegen unbeliebtseins auch sehr billig sind. (zumindest in meiner fantasie) obwohl du das buch so nett dargestellt hast muss ich mich wohl doch durchringen ums in die hand zu nehmen, obwohl es sehr dick ist. seufz weisst du ob da auch grundsätzliche dinge über stetigkeit und so weiter drin stehen? und wo ich dich schon ma am schlawittchen hab, kennst du eine tolle abhandlung zum thema: wissenschaftliche arbeiten im bereich mathematik und wie man sie verfasst?? Vielen Dank Liz
27.07.2008, 21:25	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich habe keine Konkreten Tipps, außer das du deine Bibkiotheksphobie ablegen solltest . Aber mich interessiert es wie du dazu kommst eine Bachelor Arbeit zu solch einem Thema zu schreiben wenn du noch nicht einmal grundlegende Analysis Vorlesungen gehört hast? Ich denke nicht das sowas wie Stetigkeit noch einmal in diesem Buch erklärt wird. Auszug aus dem Buchtext: "Numerous detailed proofs highlight this systematic treatment, which offers upper-level undergraduates and graduate students an elementary approach to functional equations." D.h. du brauchst gute Grundkenntnisse. Viel Glück wünscht dir, kiste
27.07.2008, 21:40	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Daß die Cauchysche Funktionalgleichung für stetige Funktionen nur von den Proportionalitäten gelöst wird, beweist man durch Induktion über den Aufbau des Zahlsystems: $\begin{eqnarray} \mathbb{N} \to \mathbb{Q}^{+} \to \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ Das ist eigentlich nicht schwer. Einfach einmal anfangen! $\begin{eqnarray} f(0+0) = f(0) + f(0) \ \ \Rightarrow \ \ f(0) = 2 f(0) \ \ \Rightarrow \ \ f(0) = 0 \end{eqnarray}$ Dann setzt man $\begin{eqnarray} c = f(1) \end{eqnarray}$ fest und rechnet weiter: $\begin{eqnarray} f(2) = f(1+1) = f(1) + f(1) = c + c = c \cdot 2 \end{eqnarray}$ Und mehr sollte ich nun wirklich nicht verraten ... Die Stetigkeit kommt nur beim Übergang von den rationalen zu den reellen Zahlen zum Tragen. Die anderen von Dir vorgesehenen Funktionalgleichungen lassen sich alle durch simple Transformationen auf die Cauchysche zurückführen.
27.07.2008, 21:44	Liz2103	Auf diesen Beitrag antworten »
Also erstmal danke das nicht zuviel verraten wurde, schliesslich will ichs dann ja doch selbst hinkriegen. und um die verwirrung ein wenig zu lösen, ich studier zwar mathematik, allerdings war in der hinsicht die einzige Vorlesung mit dem Titel "Funktionen und gleichungen" brauchbar. Da wurde aber analysis ausgeklammert. Langsam wird mir dieser Cauchy smpathisch und ne Bib-Phobie hab ich nicht, nur vor deren Mitarbeitern gg
27.07.2008, 21:47	Liz2103	Auf diesen Beitrag antworten »
ach und @Leopold: Darüber muss ich wohl nochma nachdenken. Denn ich glaube das so ein Beweis nicht ausschliessen würde, das es nch andere Fkt. gibt die die gleichung erfüllen oder??!! naja wenn ich mich noch einmal eingehend damit auseinandergesetzt habe, darf ich dich dann noch mal belästigen ?O.O gg : D danke

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