aufgabe aus der Kurvenlehre

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01.05.2006, 17:18

SJAS

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aufgabe aus der Kurvenlehre

halli hallo Augenzwinkern

hilfe, habe ein problem mit folgender aufgabe böse

:
"Die Kurve $\begin{eqnarray*} y=ax+bx^{3} \end{eqnarray*}$ geht durch P1 (1/1) und P2 (1,5/0). Welche Fläche schließt sie im 1.Feld mit der x-acchse ein? Was ergibt sich für P2 ( $\begin{eqnarray*} u\geq1/0 \end{eqnarray*}$ ) [das soll u größer 1 heißen]?
Für welchen Wert von u ist diese Fläche am kleinsten, und wie groß ist sie dann?"

Sooooo, also den ersten Teil hab ich alleine geschafft, soll heißen ich hab als Gleichung $\begin{eqnarray*} y=1,8x- 0,8x^{3} \end{eqnarray*}$
Als flächeninhalt habe ich 0,675 rausbekommen.
Aber jetzt komme ich nicht weiter! Wie ist das mit u größer 1 gemeint? Muss ich da irgendwas nochmal so rechnen? Und u größer 1 gleich x oder so was setzten? Wie löst man das?
für den rest sehe ich deswegen auch noch keinen lösungsweg...?!

wenn mir jemand helfen kann, wäre ich echt dankbar!

Gott

01.05.2006, 17:33

GastSephiroth

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na ja du machst die Aufgabe genau wie die erste, nur dass dein zweiter Punkt
also P2 nicht heißt P2(1,5 ; 0) sondern P2(u ; 0) mit u > 1
u kann z.B. auch den Wert 1,5 annehmen so dass du die selbe Funktion wie zu Beginn hättest. u > 1 soll bedeuten, dass P2 rechts von P1 liegen soll (wichtig für die Integrationsgrenzen).
versuch also nun die Funktion f aufzustellen in Abhängigkeit von u.
Danach ganz normal die Fläche berechnen (ebenfalls in Abhängigkeit von u)
und danach siehst du weiter...

01.05.2006, 19:38

SJAS

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dankeschön, aber irgendwie hab ich da noch probleme, aber vielleicht leigt auch irgendwo ein denkfehler verwirrt

:
wenn ich doch P2 (u/1) hab, dann komm ich doch nicht auf die gesucht gleichung, oder doch? Ich hab doch dann 2 gleichungen mit 3 unbekannten traurig

wie lös ich das?

02.05.2006, 14:21

SJAS

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sooo, nochmal neu: kann mir jemand anderes noch helfen?

ich hab jetzt dann halt mal mit P1(1/1) und P2(u/0) zu $\begin{eqnarray*} y= ax+ bx^{3} \end{eqnarray*}$ die zwei gelcihungen aufgestellt.

$\begin{eqnarray*} I 1= a + b II 0= au + b* u^{3} \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt I in II einsetzte bekomme ich ja
$\begin{eqnarray*} 0= (1-b) *u + b* u^{3} \end{eqnarray*}$

muss ich jetzt u oder b ausrechnen? hab u ausgerechnet, aber das gibt glaub keinen sinn, kanns ja nirgendwo einsetzen.... traurig

Wie rechne ich hiermit b aus?

DANKE

02.05.2006, 15:07

SJAS

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ich komm einfach nicht weiter
kann mir jemand sagen wie ich da b rausbekomm?
oder was muss ich machen?
BIDDE Gott

02.05.2006, 15:34

klarsoweit

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Zitat:

Original von SJAS
$\begin{eqnarray*} 0= (1-b) *u + b* u^{3} \end{eqnarray*}$

Soweit ok. Jetzt kannst du ein u rauskürzen und dann nach b auflösen.

02.05.2006, 16:00

SJAS

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wie kürze ich denn u raus?

ist das dann: 0= u * [(1-b) + u^2] ?

02.05.2006, 16:00

SJAS

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also ist b = 1+ u^2?

02.05.2006, 16:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von SJAS
wie kürze ich denn u raus?

ist das dann: 0= u * [(1-b) + u^2] ?

Falsch. Wenn, dann so:
0= u * [(1-b) + b*u^2]
Jetzt kannst du durch u dividieren und dann nach b auflösen.

02.05.2006, 17:24

SJAS

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ok, danke, dann hab ich jetzt:

0= 1-b + b*u^2

kann ich das dann so rechnen:

-1 = -b+ b*u^2 dann b ausklammern
-1 = b * (-1 + u^2) dann geteilt durch die klammer
also b = -1 / (-1+u^2)
oder b= 1/ (1-u^2)

richtig? und kann ich das jetzt in
I 1= a+b einsetzen?

also 1 = a + [ -1/ (-1+u^2)]
a = 1 - [-1/(-1+u^2)]

ist das dann--> a = u^2/(-1+u^2)?

edit: rechenfehler: verbessert

02.05.2006, 18:25

klarsoweit

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Sieht gut aus. Freude

02.05.2006, 18:26

SJAS

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so, hab jetzt mal a= -u^2 / (1-u) und b= 1/ (1-u^2) in die gleichung eingesetzt, ist das dann:

$\begin{eqnarray*} y= \frac{-u^{2}}{1-u^{2}}x + \frac{1}{1-u^{2}} x^{3} \end{eqnarray*}$
stimmt das?

muss ich jetzt davon die erste ableitung bilden, damit der flächeninhalt minimal wird?

02.05.2006, 18:29

klarsoweit

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Dazu brauchst du erstmal den Flächeninhalt.

02.05.2006, 18:30

SJAS

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welchen flächeninhalt? verwirrt

und wie bekomm ich den?

02.05.2006, 18:31

SJAS

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RE: aufgabe aus der Kurvenlehre

Zitat:

Original von SJAS
Welche Fläche schließt sie im 1.Feld mit der x-acchse ein? Was ergibt sich für P2 ( $\begin{eqnarray*} u\geq1/0 \end{eqnarray*}$ ) [das soll u größer 1 heißen]?
Für welchen Wert von u ist diese Fläche am kleinsten, und wie groß ist sie dann?"

das is der teil der aufgabe, mehr weiß ich nicht

02.05.2006, 18:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von SJAS
welchen flächeninhalt? verwirrt

und wie bekomm ich den?

Na, die Fläche zwischen Funktion und x-Achse über dem Intervall [1; u].
Und wie du die bekommst? Was hast du denn gemacht als u=1,5 war?

PS: und benutze die EDIT-Funktion, wenn du noch was ergänzen willst.

02.05.2006, 18:40

SJAS

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ja tschuldigung, ging so schnell eben, weils mir erst nachher eingefallen war, dass ich zitieren wollte Augenzwinkern

ok,also integral, heißt ich muss das bilden????
--> $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{u}~y= \frac{-u^{2}}{1-u^{2}}x + \frac{1}{1-u^{2}} x^{3}~dx \end{eqnarray*}$

und u für x einsetzen????

02.05.2006, 18:42

klarsoweit

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EDIT habe deine Korrektur gesehen. Laß das y weg und integriere von 1 bis u.

02.05.2006, 18:44

SJAS

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diese funktion oder? $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{u}~ \frac{-u^{2}}{1-u^{2}}x + \frac{1}{1-u^{2}} x^{3}~dx \end{eqnarray*}$
aber warum von 1 bis u?

02.05.2006, 18:46

klarsoweit

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Tut mir leid. Der Punkt (1|1) hatte mich irritiert. Also untere Grenze ist Null. Und laß das y= im Integral weg.

02.05.2006, 18:49

SJAS

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ok, danke, habs schon weggemacht

jetzt

[ $\begin{eqnarray*} \frac{-u^{2}}{1-u^{2}}*\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{1-u^{2}} *\frac{1}{4} x^{4} \end{eqnarray*}$ ] und grenzen von 0 bis u stimmt das?

muss ich dann jetzt erst u für x einsetzen und dann 0?

02.05.2006, 18:53

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$\begin{eqnarray*} [\frac{-u^{2}}{1-u^{2}}*\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{1-u^{2}} \frac{1}{4} x^{4}]_0^x \end{eqnarray*}$
Ja. Erst u einsetzen und dann 0 einsetzen und dies dann abziehen. Wobei das ist dann nicht so viel. Augenzwinkern

02.05.2006, 18:56

SJAS

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kommt da dann wenn ich ausmultiplizeire und ausklammer

$\begin{eqnarray*} \frac{u^{4}}{1-u^{2}}* (-\frac{1}{2} + \frac{1}{4} ) \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} \frac{u^{4}}{1-u^{2}}* (-\frac{1}{8}) \end{eqnarray*}$ raus?
oder war ich da zu schnell?

is das mein ergebnis für den flächeninhalt?

wie bekomm ich den dann minimal?

02.05.2006, 18:59

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Fast richtig. Was ist $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} + \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ?

PS: ich klinke mich dann aus für heute. Der Rest ist dann nicht mehr so dramatisch.

02.05.2006, 18:59

SJAS

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halt halt halt bidde nur noch sagen wie ich den minimal bekomme?

mucc ich die gleichung jwetzt die erste ableitung bilden und dann null setzen?

das is dann $\begin{eqnarray*} \frac{u^{4}}{1-u^{2}}* (-\frac{1}{4} ) \end{eqnarray*}$ , ne?

02.05.2006, 19:01

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Genau!

OK. Die Flächenformel stimmt jetzt.

02.05.2006, 19:02

SJAS

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ja danke, is dann - 1/4

02.05.2006, 19:13

SJAS

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sooo, hab mal die ableitung gebildet, kann ma jwemand überprüfen ob die stimmt?

$\begin{eqnarray*} y (strich)= -\frac{1}{4} * \frac{4u^{3}-2u^{5}}{(1-u^{2})^{2}} \end{eqnarray*}$

02.05.2006, 19:24

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Ja, die Ableitung stimmt.

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