Induktionsaufgabe

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Sith Auf diesen Beitrag antworten »
Induktionsaufgabe
Hi,
ich habe gerade mit meinem Studium Mathe angefangen und uns wurde gleich die Induktion an den Kopf geschmissen. Ich hab das in der Schule nie gemacht und weiß deshalb nicht so genau, was ich machen soll.

Aufgaben: Beweisen Sie mit Induktion:






Wäre nett, wenn jemand die Aufgaben Schritt für Schritt lösen könnte...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsaufgabe
Nein, das tun wir nicht. Siehe:
Prinzip "Mathe online verstehen!"

Ich glaube auch nicht, daß das in der Schule nicht dran war. Was kannst du denn zur vollständigen Induktion sagen? Irgendwas wirst du doch dazu wissen? Was wurde denn in der Vorlseung gesagt? Und was für ein Studium ist das?
Sith Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, okay, dann möchte ich keine Lösung sondern einfach nur Tipps. Und nein, wir haben das nicht in der Schule gemacht...ich war nämlich leider nur im Grundkurs...ein LK wurde nicht angeboten. Über ein klein wenig Hilfe wäre ich also dankbar...
KarlAuer Auf diesen Beitrag antworten »

Was braucht man denn alles um einen Beweis durch Induktion zu führen? Sagen dir die Begriffe Induktionsanfang, Induktionsvorraussetzung und Induktionsschluss/schritt etwas?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also vollständige Induktion wird auch im GK gemacht. Nun gut.

Schauen wir uns das Prinzip der vollständigen Induktion an.
Wir haben eine Aussage A(n), deren Gültigkeit für alle n aus N behauptet wird.
Die vollständige Induktion besteht nun aus drei Teilen, wobei der 3. Teil immer weggelassen wird, weil er im Prinzip immer gleich ist.

1. Teil: Der Induktionsanfang. Gezeigt wird die Gültigkeit der Aussage für n=1.
Also A(1) ist wahr.

2. Teil: Hier wird gezeigt: Wenn die Aussage A für eine beliebige Zahl n wahr ist, dann ist auch die Aussage A für die nachfolgende Zahl n+1 wahr. Die Gültigkeit der Ausage A wird also in diesem Teil für ein beliebiges n vorausgesetzt.

Jetzt kommt der 3. Teil, der typischerweise weggelassen wird, weil er immer gleich ist:
Wir wissen, dass die Aussage A für n=1 gilt.
Dann gilt sie aber auch für den Nachfolger, also für n=2.
Da sie nun für n=2 gilt, gilt sie auch wiederum für den Nachfolger, also für n=3.
Da auf diese Weise jede natürliche Zahl erreicht wird, ist die Gültigkeit der Aussage bewiesen.

Nun schreib mal für deine 1. Aufgabe hin, was A(n) ist und mach mal den Induktionsanfang.
Sith Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, aber ich weiß nicht, wie ich mit dem Summenzeichen umgehen muss. Ist mir jetzt ein bisschen peinlich...sieht jetzt so aus, als wollte ein Mathe-Legastheniker Mathe studieren... traurig

Hab gerad in meinem Buch eine andere Aufgabe gefunden, ohne Summenzeichen, da weiß ich zumindest was ich so grob machen soll, aber hier...
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsaufgabe
Dann üben wir mal das Summenzeichen.
bedeutet, daß du in (2i-1) nacheinander die Zahlen 1, 2, usw. bis n einsetzt und die Ergebnisse summierst. Mach das mal mit:

Setze in (2i-1) nacheinander die Zahlen 1, 2 und 3 ein. Welche Summanden bekommst du und was ist dann die Summe?
Sith Auf diesen Beitrag antworten »

Also mir ist schon klar, dass ich 1 einsetzen muss.

Dann hätte ich

Jetzt muss ich zeigen, dass das ganze auch für n+1 gilt...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsaufgabe
Ok. dabei darfst du verwenden, daß gilt:


Ersetze hier erstmal das n durch n+1, damit wir wissen, was das Ziel ist.
Sith Auf diesen Beitrag antworten »

(2*1-1) = 1
(2*2-1) = 3
(2*3-1) = 5

Achso, dann heißt 2i-1 alle ungeraden Zahlen von 1 bis n...
Sith Auf diesen Beitrag antworten »

kleine Frage zum Formeleditior: wenn ich oben n+1 eingeben will, funktioniert das nicht. Aus \sum_{i=1}^n+1 ~(2i-1) = n^2 folgt Gleiches passiert, wenn ich (n+1) schreibe.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsaufgabe
Ein gedehntes ja. Nicht bis n sondern bis 2n-1. Und die werden summiert. Also ist ist die Summe aller ungeraden Zahlen von 1 bis 2n-1.
Nun gut. Jetzt wieder zur vollständigen Induktion.
In obiger Summe mußt du erstmal n durch n+1 ersetzen. Achtung: das ist nicht der Beweis der Formel, sondern das tut man nur, um zu wissen, was das Ziel im Induktionsschritt ist.

Zum Latex: setze n+1 in {}, also {n+1}.

PS: wenn du dich registrierst, kann du Beiträge editieren und ich kann sehen, ob du noch da bist. Langsam mache ich nämlich Feierabend. Augenzwinkern
Sith Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, okay.

Also die Aussage ist für n=1 richtig.

Jetzt überprüfe ich, ob sie auch für n+1 richtig ist. Also
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsaufgabe
OK. Wie gesagt darfst du dabei verwenden, daß schon gilt.

Spalte in der Summe, die bis n+1 geht, den letzten Summanden ab.

PS: noch 10 Minuten, dann ist für heute Feierabend.
Sith Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du so?



Warum hab ich das jetzt gemacht???
Sith Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, das n^2 darf da natürlich nicht stehen
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Also so:


Für kannst du die Induktionsvaussetzung einsetzen. Das ist nämlich gleich ...
Sith Auf diesen Beitrag antworten »



Sith Auf diesen Beitrag antworten »

Achso,
ich glaub jetzt hab ichs.

Das ist es glaub ich! Was aber genau sagt mir das jetzt?
Sith Auf diesen Beitrag antworten »

OH, HIHI,
ich bin fertig. Alles klar... mit der zweiten Aufgabe komme ich nun hoffentlich alleine zurecht. Vielen Dank für die Hilfe und die Geduld...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sith

Kleine Korrektur:

und wie du im nächsten Schritt festgestellt hast ist das gleich:


Also zusammengefaßt gilt:


Damit haben wir folgenden Sachverhalt:
Gilt die Aussage für eine Zahl n, dann gilt sie auch für die nachfolgende Zahl n+1. Und genau das ist und war der Induktionsschritt.
daN-R-G Auf diesen Beitrag antworten »

Um mich noch einmal dranzuhängen:

@klarsoweit: Ich kann nicht bestätigen, dass Induktion ein Thema in der Schulmathematik ist. Weder ich (Mathe LK) noch viele andere meiner Kommilitonen hatten das Prinzip der Vollständigen Induktion in der Schule behandelt Augenzwinkern

Vielleicht ist des ja aber auch bundeslandabhängig. Keine Ahnung was im Bildungs-Süden in der Richtung passiert. Hier in NRW kann ichs zumindestens nicht bestätigen.
Sith Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank für die Hilfe. Hab die zweite Aufgabe mit viel Mühe auch hinbekommen.

Bei mir im Studium sind einige dabei, die die Induktion gemacht haben, viele andere aber, die es nicht gemacht haben. Ich würde sogar soweit gehen und sagen, dass das von Kurs zu Kurs unterschiedlich ist.

Aber jetzt weiß ich's ja Freude
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