Komplexe Betragsungleichung

28.07.2008, 00:14

silver_eye

Komplexe Betragsungleichung

Hallo zusammen!

Ich komme hier bei einer Aufgabe nicht weiter:

Bestimmen Sie die Menge aller Punkte $\begin{eqnarray*} z\in \mathbb C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mid 2z-3 \mid < \mid 3z-2 \mid \end{eqnarray*}$ und machen Sie dazu eine Skizze.

Wie geh ich bei so einer Aufgabe vor? Mit den Betragsstrichen ist doch in diesem Fall die länge des Zeigers gemeint oder? Also $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \end{eqnarray*}$ . Was mach ich denn dann aber mit der -2 bzw. -3 und den faktoren 2 bzw. 3 in den betragsstrichen? und wo bekomme ich ein x und y her? Kann mir jemand vllt einen tipp geben? verwirrt

ich hoffe mir kann jemand helfen smile

lg maren

28.07.2008, 00:40

TommyAngelo

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Schreib x+yi statt z!

29.07.2008, 15:09

silver_eye

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Also hab das jetz so gemacht:

hab die Betragsstriche auf z eingeschränkt (darf man das so machen???)

$\begin{eqnarray*} 2 \mid z \mid-3 < 3 \mid z \mid-2 \end{eqnarray*}$

und dann nach |z| umgestellt:

\mid z \mid > 1

daraus folgt ja das damit alle z gemeint sind die die bedingung betrag größer 1 erfüllen. also kann man sagen die skizze ist ein kreis mit radius 1 wobei die punkte ausserhalb des kreises die gesuchten elemente sind.

wenn ich statt dem z ein x+yi schreibe und das umstelle komm ich nachher eigentlich zum gleichen ergebnis $\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}>1 \end{eqnarray*}$ das ja einer kreisgleichung entspricht.

Ist das alles richtig so??

29.07.2008, 15:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von silver_eye
hab die Betragsstriche auf z eingeschränkt (darf man das so machen???)

$\begin{eqnarray*} 2 \mid z \mid-3 < 3 \mid z \mid-2 \end{eqnarray*}$

Natürlich nicht. unglücklich

(Das ist mal wieder Mathe in seiner Brutalst-Form.)

Bei dir wäre jetzt z=0 eine mögliche Lösung, in der ursprünglichen Ungleichung aber nicht. Warum beachtest du nicht den Tipp von Tommy?

Schulmathe?

29.07.2008, 15:56

TommyAngelo

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Du schreibst x+yi statt z und fasst innerhalb des Betrags zusammen, damit du folgendes anwenden kannst:

$\begin{eqnarray*} \mid a+bi \mid = \sqrt{a²+b²} \end{eqnarray*}$

Dann hast du eine Wurzelungleichung, die du nach $\begin{eqnarray*} \sqrt{x²+y²} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \mid x+yi \mid = \mid z \mid \end{eqnarray*}$ auflöst.
Aber die Lösung hast du ja schon.

29.07.2008, 16:04

Airblader

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Zitat:

Original von silver_eye
$\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2}>1 \end{eqnarray*}$ das ja einer kreisgleichung entspricht.

Was ist denn daran eine Gleichung verwirrt

air

29.07.2008, 16:14

tmo

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Zitat:

Original von silver_eye
$\begin{eqnarray*} 2 \mid z \mid-3 < 3 \mid z \mid-2 \end{eqnarray*}$

und dann nach |z| umgestellt:

\mid z \mid > 1

Das ist falsch. Die Ungleichung wäre äquivalent zu $\begin{eqnarray*} |z| > -1 \end{eqnarray*}$ , also immer erfüllt. Dass man das so allerdings nicht machen kann, wurde ja schon gesagt.

Die richtige Lösung hast du ja auch schon gesposted. Es muss $\begin{eqnarray*} |z|>1 \end{eqnarray*}$ gelten.

29.07.2008, 17:02

silver_eye

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Oke hab das jetz so gemacht:

$\begin{eqnarray*} \mid 2(x+yi)-3 \mid <\mid 3(x+yi)-2 \mid \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mid 2x+2yi-3 \mid <\mid 3x+3yi-2 \mid \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(2x-3)^{2}+(2yi)^{2}} < \sqrt{(3x-2)^{2}+(3yi)^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4x^{2}-12x+9-4y^{2}} < \sqrt{9x^{2}-12x+4-9y^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x^{2}-12x+9-4y^{2} < 9x^{2}-12x+4-9y^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -5x^{2}+5y^{2} < -5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2}-y^{2} > 1 \end{eqnarray*}$

jetz bekomm ich aber was anderes heraus! wo ist mein fehler?

29.07.2008, 17:43

TommyAngelo

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Den Imaginärteil bitte ohne i, also kein i unter die Wurzel nehmen.

29.07.2008, 17:54

silver_eye

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OH!