metrischer Raum vollständig => wie prüfen ob? |
| 01.05.2006, 18:09 | Mattes_01 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| metrischer Raum vollständig => wie prüfen ob? Ich wollte mal kurz fragen, wie grnau man prüfen kann ob ein Metrischer Raum vollständig ist. Man muss ja nur zeigen, dass jeden konvergente Folge in dieser Metrik auch einen Grenzwert ebenfalls in dieser Metrik besitzt, wie macht man das, also ich kann ja schlecht alle Folgen aufstellen 
Gruss Mattes |
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| 01.05.2006, 18:32 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das ist falsch. Du musst zeigen: Jede Cauchyfolge aus dem gegebenen metrischen Raum konvergiert und besitzt somit einen Grenzwert, der in dem metrischen Raum liegt. Es gibt dafür mMn kein allgemeines Rezept. Das ist wohl von Fall zu Fall anders. Gruß MSS |
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| 01.05.2006, 20:24 | Mattes_01 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso, dann dürften die reellen zahlen also kein metrischer Raum sein, oder? Ich habe nämlich im Hintergrund: jede konvergente Folge ist eine Cauchy Folge, aber eben nicht umgekehrt, oder bin ihc jetzt verpeilt?^^ Danke und Gruss Mattes |
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| 01.05.2006, 20:30 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ein metrischer Raum sind die reellen Zahlen an sich sowieso nicht. Wenn du die reellen Zahlen, versehen mit der euklidischen Metrik meinst, diese sind natürlich ein metrischer Raum. War das vll nur ein Schreibfehler und du wolltest folgendes sagen?
Und doch, die reellen Zahlen, versehen mit der euklidischen Metrik, bilden natürlich einen vollständigen metrischen Raum. Das ist doch auch der Erste, den man kennenlernt und das noch bevor man überhaupt weiß, was ein metrischer Raum ist. In gilt: Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchyfolge ist. Gruß MSS |
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| 01.05.2006, 21:27 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
kleine Information am Rande: Definiert man folgende Abbildung auf jeder x-beliebigen Menge X so ist (X,d) immer ein Metrischer Raum (wenn gleich die Metrik nicht wirklich viel aussagt) |
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| 01.05.2006, 21:33 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jau, der ist auch vollständig. Wüsste aber nicht, was das mit dem Thema zu tun hat ... Gruß MSS |
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| 03.05.2006, 07:49 | Mattes_01 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich denke ich kann dir folgen MSS, allerdings
Sind damit rationale Folgen wie gemeint? Weil diese Folge ja keinen Grenzwert in "Q" besitzt und somit Q nicht vollständig ist. Naja ich denke ich habe das jetzt verstanden, bis dann und Danke für die Antworten! Gruss Mattes |
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| 03.05.2006, 15:26 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, z.B.! Die Folge mit ist in zwar eine Cauchyfolge, besitzt dort aber keinen Grenzwert. Gruß MSS |
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| 03.05.2006, 21:29 | Mattes_01 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Alles klar, danke |
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