Teilbarkeit

28.07.2008, 13:44	Arbmosal	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeit Mein Mathelehrer hat mir neulich folgendes Rätsel gestellt. Ein Scheich vererbt seinen 2 Söhnen jeweils gleich viele Kamele. Da die beiden sich aber einig sind, dass Kamele viel weniger Spaß machen als tolle Sportwagen beschließen sie die Kamele zu verkaufen. Einer der Brüder nimmt also alle kamele geht zum Markt und bekommt dort für jedes Kamel soviel wie er insgesamt Kamele verkauft Dann geht er zurück und teilt das Geld auf. Er gibt seinem Bruder 10$ dann sich selbst 10$ und wieder seinem Bruder und sich selbst usw. Dann bekommt der Bruder der den ersten Schein bekam auch noch den letzten. Dafür bekommt der andere das "Kleingeld"(das weniger als 10$ ist). Daraufhin zählen sie wer wie viel Geld hat und der der das Kleingeld bekam bekommt jetzt noch Geld von seinem Bruder. Wie viel? Im Endeffekt kommt raus, dass IMMER wenn dieses Szenario zustande bekommt der eine Bruder noch 2$ bekommen muss. Ich suche Ansätze um das zu Beweisen weil mir mein eigener Beweis zu "unelegant" ist. Bewiesen hab ich das über Fallunterscheidung Hier: Man kann jede Zahl so darstellen: $\begin{eqnarray} k,m\in \mathbb N \\m<10 \\n=10k+m \end{eqnarray}$ und es sei $\begin{eqnarray} n=AnzahlKamele \\und\\n_m=10k+m \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n^{2}=Geld \\n^{2}=10k_{n^{2}}+m_{n^{2}} \end{eqnarray}$ Nun weiß ich, dass das $\begin{eqnarray} k_{n^{2}} \end{eqnarray}$ ungerade sein muss, damit das verteilen der 10$ Scheine nicht aufgeht. Außerde muss die Anzahl der Kamele gerade sein. Also: $\begin{eqnarray} n_0=10k\\n_0^{2}=10(10k^{2})\|\|10k^{2}=Gerade Zahl\\n_2=10k+2\\n_2^{2}=10(10k^{2}+4k)+4\|\|10k^{2}+4k=Gerade Zahl\\n_4=10k+4\\n_4^{2}=10(10k^{2}+8k+1)+6\|\|10k^{2}+8k+1=Ungerade Zahl\\n_6=10k+6\\n_6^{2}=10(10k^{2}+12k+3)+6\|\|10k^{2}+12k+3=Ungerade Zahl\\n_8=10k+8\\n_8^{2}=10(10k^{2}+16k+6)+4\|\|10k^{2}+16k+6=Gerade Zahl \end{eqnarray}$ Die einzigen Fälle in denen das obige Szeanrio zu stande kommt ist also, wenn die Anzahl der Kamele auf 4 oder auf 6 endet. In beiden Fällen endet die Anzahl des Geldes auf 6 und der eine Bruder muss noch 2$ bekommen Soviel dazu^^ P.S. Den Titel "Teilbarkeit habe ich gewählt, weil das der einzige Tipp war, den mein Lehrer mir geben wollte. Aber das hat mich nich weiter gebracht -.- MfG Arbmosal edit: Mein Latex zeug sieht irgendwie etwas komsich formatiert aus. Woran kann das liegen?
28.07.2008, 16:00	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Prinzipiell ist deine Lösung erstmal richtig - das ist das Allerwichtigste. Ich würde das folgendermaßen anstellen, ist vielleicht etwas effizienter, wenn man Modulorechnung kennt. (1) Startpunkt ist natürlich, dass der Verkaufserlös eine Quadratzahl ist: $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Kamelen Weiter ist dem Text zu entnehmen, dass der Erlös gleich einer ungeraden Anzahl von 10€-Scheinen plus einem Betrag kleiner als 10 Euro ist, d.h., es existiert eine ganze Zahl $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 10(2k+1) \leq n^2 < 10(2k+2) \end{eqnarray}$ , d.h. modulo 20 muss ein Rest zwischen 10 und 19 (einschließlich der Grenzen) herauskommen. (2) Nun betrachte man alle Fälle $\begin{eqnarray} n=10r+s \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} -5<s\leq 5 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} n^2 = (10r+s)^2 = 100r^2+20rs+s^2 \equiv s^2\mod 20 \end{eqnarray}$ , und für $\begin{eqnarray} s^2 \mod 20 \end{eqnarray}$ kommen nur die Werte 0, 1, 4, 9, 16, 5 in Frage. Nur der vorletzte, also 16 erfüllt die Forderung aus (1), zwischen 10 und 19 zu liegen! Gemäß Betrachtungen aus (1) hat also vom Erlös $\begin{eqnarray} 20k+16 \end{eqnarray}$ der eine Bruder $\begin{eqnarray} 10k+10 \end{eqnarray}$ und der andere Bruder $\begin{eqnarray} 10k+6 \end{eqnarray}$ erhalten, der Ausgleichsbetrag ist also 2, damit beide auf $\begin{eqnarray} 10k+8 \end{eqnarray}$ kommen. Interessanterweise wird bei dieser Lösung überhaupt nicht die Angabe gebraucht, dass die Kamelanzahl $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gerade ist - das ergibt sich aus den anderen Angaben zwangsläufig!
28.07.2008, 18:31	Arbmosal	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal bin ich froh, dass meine Lösung stimmt^^ Allerdings kenne ich mich beim Modulo nich so ganz aus Mir is zwar klar warum modulo 20 zwichen 10 und 19 liegen muss, aber danach hab ich ein kleines problem Ich bin mir ziemlich sicher, wenn für $\begin{eqnarray} s^{2} mod 20 \end{eqnarray}$ der wert 0 in Frage kommt $\begin{eqnarray} s^{2} \end{eqnarray}$ von 20 geteilt werden muss. Was für $\begin{eqnarray} -5<s\leq 5 \end{eqnarray}$ doch nich geht. Oder hab ich grad nen Knoten im Hirn? Außerdem macht mir dieses Zeichen \equiv probleme MfG Arbmosal
28.07.2008, 19:16	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo! ich habe jetzt zwar nicht das ganze problem verfolgt, aber für s=0 ist s^2 mod 20 = 0
28.07.2008, 19:50	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das ist es. @Arbmosal So viel braucht man von der Modulorechnung hier auch nicht, eigentlich genügt es, dass aus $\begin{eqnarray} n^2 = (10r+s)^2 = 100r^2+20rs+s^2 = 20(5r^2+rs)+s^2 \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s^2 \end{eqnarray}$ bei Division durch 20 denselben Rest lassen. Also genügt es, die möglichen Reste von $\begin{eqnarray} s^2 \end{eqnarray}$ bei Division durch 20 zu betrachten, und das sind dann eben 0, 1, 4, 9, 16, 5. Statt $\begin{eqnarray} -5<s\leq 5 \end{eqnarray}$ hätte man auch $\begin{eqnarray} 0\leq s < 10 \end{eqnarray}$ betrachten können, wichtig ist ja nur, dass alle 10 Reste abgedeckt werden. Aber die erste Variante $\begin{eqnarray} -5<s\leq 5 \end{eqnarray}$ ist für Quadrate offensichtlich effizienter. Ist das übliche Vorgehen, wenn man mal mehrere solche Probleme hinter sich hat.
28.07.2008, 22:33	Arbmosal	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so jetzt hab ich alles verstanden. Dankeschön nochmal MfG Arbmosal
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