monotonie und stetigkeit von arcsin |
| 01.05.2006, 20:55 | kl.gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| monotonie und stetigkeit von arcsin ich weiss dass arcsin monoton steigend ist und stetig ists natürlich auch. aber mir fehlt die richtige begründung. kann man sagen dass arcsin stetig ist, da es die umkehrfunktion von sin ist und die ist ja stetig? 
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| 01.05.2006, 22:10 | Frooke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, einzig die Intervallenden sollen sorgfältig geprüft sein! Und die Monotonie findest Du mit der Ableitung. |
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| 01.05.2006, 22:56 | kl.gast | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn die ableitung positiv ist dann ist die monoton steigend, ok. aber wie soll ich die ableitung von einem intervall bestimmen? hm und was bedeutet das die intervallenden geprüft werden sollen? meinst du jetzt die randpunkte der intervalls?
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| 01.05.2006, 23:49 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ableitung und Krimskrams - überflüssig! ist per definitionem die Umkehrung von Und da der Sinus streng monoton wächst (wenn am Einheitkreis der Winkel von auf monoton anwächst, wachsen die Sinuswerte (Ordinaten) monoton von auf an - das ist offensichtlich!), tut das auch der Arcussinus. |
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| 02.05.2006, 10:53 | Frooke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nun wenn man den Sinus am Einheitskreis betrachtet, dann mag das stimmen, aber es ist sicher nicht verkehrt die Monotonie mittels Ableitung zu zeigen. (wobei Du natürlich recht hast, dass es in diesem Fall einfacher geht. |
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| 02.05.2006, 13:33 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist natürlich nicht verkehrt, stellt aber die Sache letztlich auf den Kopf. Denn wie ist das mit der Definition des Arcussinus? Da der Sinus nicht eineindeutig ist, restringiert man ihn bekanntlich auf ein Intervall, das das Umkehren ermöglicht. Dazu weist man z.B. nach, daß er auf dem betreffenden Intervall streng monoton ist. Wie man das macht, hängt natürlich von der vorgegebenen Definition ab. Bei einer elementargeometrischen Definition (Einheitskreis) wird man es so machen, wie von mir vorgeschlagen. Bei einer analytischen Definition wird man Hilfsmittel der Analysis verwenden, z.B. ein Monotonienachweis mit der ersten Ableitung. Und erst wenn das alles erledigt ist, ist die Existenz einer Umkehrfunktion garantiert, die man dann den Arcussinus ("Bogen zum Sinus(wert)") nennt. Beim Umkehren auf Intervallen bleibt aber die Monotonie erhalten (trivial!). So bekommt man die Monotonie des Arcussinus ohne jede Rechnung gleich mitgeliefert. Und nach diesen ganzen Vorarbeiten kann man jetzt daran gehen, die Ableitung des Arcussinus herzuleiten (Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion). Daß die dann die Monotonie des Arcussinus wieder zurückliefert, ist ja logisch. Aber damit wird nur bestätigt, was man sowieso schon weiß und was man ja schon verwendet hatte, um den ganzen Definitionsprozeß überhaupt in Gang bringen zu können. So war mein Beitrag zu verstehen. Es könnte natürlich sein, daß kl.gast eine ganze andere Definition des Arcussinus verwenden muß, die (scheinbar) gar nichts mit dem Sinus zu tun hat, also eine Definition, wo Arcussinus zunächst nur ein Name ist. Dann müßte er uns aber mitteilen, von welcher Definition er ausgeht. Und davon hinge dann auch ab, wie der Monotoniebeweis zu führen wäre. Wie so oft: Man wird nach Beweisen gefragt, aber die Leute sagen einem überhaupt nicht, welche Definitionen zugrundeliegen ... Ich bin bei meinem Beitrag von der Standardsituation ausgegangen: Der Arcussinus als Umkehrung des Sinus. |
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| 02.05.2006, 14:45 | Frooke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, das verstehe ich jetzt, insofern ist mein Vorschlag ein Zirkelschluss, der zwar das richtige Resultat bringt, dieses aber quasi schon voraussetzt. Dann ist es doch ein bisschen verkehrt! Danke für die ausführliche Antwort (ich brauche manchmal etwas länger...). |
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