Extremwert und Logarithmengesetz --> Kurze Frage

29.07.2008, 12:36

H-Man

Extremwert und Logarithmengesetz --> Kurze Frage

Hallo!

Habe 2 kurze Fragen:

1.

$\begin{eqnarray*} \lim_{\infty } \frac{\frac{1}{2} n^2 - n log_2 n}{n^2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Kann man bei lim das n log_2 n einfach vernachlässigen oder wie kommt man da auf 1/2?

2.

Logarithmengesetz:

$\begin{eqnarray*} 2n^2 log_{10} n = 2 log_{10} 2 \cdot n^2 log_2 n \end{eqnarray*}$

Wie kommt man denn darauf???

29.07.2008, 12:48

klarsoweit

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RE: Extremwert und Logarithmengesetz --> Kurze Frage

Zitat:

Original von H-Man
$\begin{eqnarray*} \lim_{\infty } \frac{\frac{1}{2} n^2 - n log_2 n}{n^2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Etwas umformen: $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{2} n^2 - n log_2 n}{n^2} = \frac{1}{2} - \frac{log_2 n}{n} \end{eqnarray*}$

Der 2. Summand konvergiert gegen 0.

Zitat:

Original von H-Man
$\begin{eqnarray*} 2n^2 log_{10} n = 2 log_{10} 2 \cdot n^2 log_2 n \end{eqnarray*}$

Dein scheint mir auch nicht zu stimmen. Es gilt aber: $\begin{eqnarray*} log_{10} n = \frac{log_2 n}{log_2{10}} \end{eqnarray*}$

EDIT: die Gleichung stimmt, siehe unten.

29.07.2008, 12:59

H-Man

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RE: Extremwert und Logarithmengesetz --> Kurze Frage

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von H-Man
$\begin{eqnarray*} \lim_{\infty } \frac{\frac{1}{2} n^2 - n log_2 n}{n^2} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Etwas umformen: $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{2} n^2 - n log_2 n}{n^2} = \frac{1}{2} - \frac{log_2 n}{n} \end{eqnarray*}$

Der 2. Summand konvergiert gegen 0.

Ach, OK...!

Theoretisch: Würde der 2. Summand gegen unendlich kovertieren, dann wäre die ganze Gleichung lim = 0, oder?

Zitat:

Original von H-Man
$\begin{eqnarray*} 2n^2 log_{10} n = 2 log_{10} 2 \cdot n^2 log_2 n \end{eqnarray*}$

Dein scheint mir auch nicht zu stimmen. Es gilt aber: $\begin{eqnarray*} log_{10} n = \frac{log_2 n}{log_2{10}} \end{eqnarray*}$ [/quote]

...Mhm...da muss ich nochmal fragen...

29.07.2008, 13:04

klarsoweit

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RE: Extremwert und Logarithmengesetz --> Kurze Frage

Zitat:

Original von H-Man
Theoretisch: Würde der 2. Summand gegen unendlich kovertieren, dann wäre die ganze Gleichung lim = 0, oder?

1.: Der kovertiert nicht, sondern konvergiert.
2.: Können nur Folgen oder Funktionen konvergieren, aber keine Gleichungen.
3.: Wäre der Grenzwert dann nicht Null, sondern minus unendlich.

Das mit dem Logarithmus stimmt doch:

Es ist: $\begin{eqnarray*} log_{10} n = \frac{log_2 n}{log_2{10}} \end{eqnarray*}$

Und: $\begin{eqnarray*} log_2{10} = \frac{log_{10}{10}}{log_{10}2} = \frac{1}{log_{10}2} \end{eqnarray*}$

29.07.2008, 13:17

H-Man

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RE: Extremwert und Logarithmengesetz --> Kurze Frage

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von H-Man
Theoretisch: Würde der 2. Summand gegen unendlich kovertieren, dann wäre die ganze Gleichung lim = 0, oder?

1.: Der kovertiert nicht, sondern konvergiert.
2.: Können nur Folgen oder Funktionen konvergieren, aber keine Gleichungen.
3.: Wäre der Grenzwert dann nicht Null, sondern minus unendlich.

--> OK, stimmt!

Zitat:

Das mit dem Logarithmus stimmt doch:

Es ist: $\begin{eqnarray*} log_{10} n = \frac{log_2 n}{log_2{10}} \end{eqnarray*}$

Und: $\begin{eqnarray*} log_2{10} = \frac{log_{10}{10}}{log_{10}2} = \frac{1}{log_{10}2} \end{eqnarray*}$

Verstehe aber trotzdem nicht, wie ich da oben auf meine Gleichung komme...

29.07.2008, 13:29

klarsoweit

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RE: Extremwert und Logarithmengesetz --> Kurze Frage

Zitat:

Original von H-Man
$\begin{eqnarray*} 2n^2 log_{10} n = 2 log_{10} 2 \cdot n^2 log_2 n \end{eqnarray*}$

Lassen wir da mal lästige Faktoren weg, dann haben wir:

$\begin{eqnarray*} log_{10} n = log_{10} 2 \cdot log_2 n \end{eqnarray*}$

Da brauchst du nur den Logarithmus auf der linken Seite wie von mir angegeben umformen.

EDIT: man kann es auch so rechnen:

$\begin{eqnarray*} n = 2^{log_2 n} = (10^{log_{10} 2})^{log_2 n} = 10^{log_{10} 2 \cdot log_2 n} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch auf beiden Seiten den log_10 nehmen und fertig.

29.07.2008, 13:34

H-Man

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OK, ich habs! ;-)

Puh...erstmal drauf kommen!

Ich danke Dir!

29.07.2008, 13:36

klarsoweit

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Ich habe noch eine Alternative ergänzt.

29.07.2008, 16:19

Airblader

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@klarsoweit

Okay, jetzt stänker ich mal rum. Können (genau genommen) überhaupt Summanden konvergieren verwirrt

air

29.07.2008, 17:23

Dual Space

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Warum denn nicht?

29.07.2008, 17:35

Airblader

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Ein Summand allein ist doch schließlich auch keine Folge/Funktion?

air

29.07.2008, 17:39

Dual Space

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Auch ein Term kann konvergieren. Betrachte z.B. den Term $\begin{eqnarray*} \frac{ab}{c} \end{eqnarray*}$ . Der konvergiert z.B. gegen Null, falls $\begin{eqnarray*} c\to\infty \end{eqnarray*}$ .

Wozu also der Umweg über Funktionen?

29.07.2008, 17:43

Airblader

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RE: Extremwert und Logarithmengesetz --> Kurze Frage
Nun - ich bin lediglich auf das hier eingegangen Augenzwinkern

Zitat:

Original von klarsoweit
2.: Können nur Folgen oder Funktionen konvergieren, aber keine Gleichungen.

air

29.07.2008, 19:10

Mathespezialschüler

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Man kann einen von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängigen Summanden aber doch durchaus recht eindeutig als Folge auffassen. Also, man kann es auch übertreiben mit der Formalität. Augenzwinkern

29.07.2008, 19:15

Airblader

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Stimmt schon Augenzwinkern

Darum ja mein "jetzt stänker ich mal rum" .. Augenzwinkern

air

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