Einheitsmatrix

29.07.2008, 15:27

JonnyRico

Einheitsmatrix

Moin,

ich habe folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} X^{2} = 2(2B-A)B - 2BA + A^{2} \end{eqnarray*}$

A und B sind 2x2 Matrixen und ich soll X bestimmen und min. 5 verschiedene Lösungen angeben, sowie die allgemeine Form der Matrix X.

Ich habe die Gleichung noch einmal weiter umgeformt und bekomme dann:

$\begin{eqnarray*} X^{2} = 2(2B-A)B - (2B + A)A \end{eqnarray*}$

Als Ergebnis erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7&\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich erwarte eigentlich die Einheitsmatrix. Derive zweigt für die Einzelergebnise auch meine Ergebnisse aber hat am Ende da die Einheitsmatrix stehen. Kann ich einfach jedes Element durch 7 teilen???

Mein nächstes Problem wäre dann leider auch noch das ich nicht weiß was ich nun mit dem Quadrat auf der rechten seite mache und wie ich zur allgemeinen Form von X komme. Kann mir da vielleicht jemand einen Tip geben?? Wäre super. Vielen Dank im Voraus.

Gruß

Jonny

29.07.2008, 16:01

Mazze

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5 Lösungen anzugeben ist doch garnicht so schwer. Setze B = 0, was ist dann eine Lösung für X ? Setze A = 0, was ist für X möglich? Dann hast Du schon 4 Lösungen. Was nicht klar aus Deinem Post wird, ist ob Deine A und B fix sind? Ich verstehe es so, dass Du eine Funktion

$\begin{eqnarray*} f : \mathbb{R}^{2 \times 2} \times \mathbb{R}^{2 \times 2} \to \mathbb{R}^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$

hast, mit der Eigenschaft dass es eine 2x2 Matrix X gibt (abhängig von A und B) mit $\begin{eqnarray*} f(A,B) = X^2 \end{eqnarray*}$ . Und Du willst zu gegeben A und B die Matrix X haben. Allerdings kann ich mich da auch irren. Etwas mehr Erläuterung wäre (fände zumindest ich) nett. Die Lösung von X hängt zumindest von A und B ab, und wenn diese fix sind, sollte man sie uns nicht unterschlagen.

29.07.2008, 16:25

JonnyRico

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Hi,

sorry Augenzwinkern

Also die Matrizen sind gegeben und sehen so aus:

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & \\ 2 & -1\end{pmatrix} \\B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & \\ 1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Klar ohne Angabe der Matrizen war blöd.

Gruß

Jonny

29.07.2008, 18:50

Mazze

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Damit wird natürlich alles klar.

Zitat:

Ich erwarte eigentlich die Einheitsmatrix. Derive zweigt für die Einzelergebnise auch meine Ergebnisse aber hat am Ende da die Einheitsmatrix stehen. Kann ich einfach jedes Element durch 7 teilen???

Nein, die Einheitsmatrix ist richtig, im letzten Schritt erhält man

$\begin{eqnarray*} X^2 = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich vermute Du hast irgendwo einen Vorzeichenfehler. Wenn man alles ausrechnet kommt man also auf

$\begin{eqnarray*} X^2 = I \end{eqnarray*}$

Die trivialen Lösungen sind natürlich X = I und X = -I. Ansonsten läuft das Ganze auf die Lösung vom Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} x_{11}^2 + x_{12}x_{21} = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{11}x_{12} + x_{12}x_{22} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{21}x_{11} + x_{22}x_{21} = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{21}x_{12} + x_{22}^2 = 1 \end{eqnarray*}$

hinaus. Das Ganze ist ein nicht lineares Gleichungssystem. Ich habs mit dem Gleichungssystem gemacht und noch 3 Lösungen konstruiert, und auch direkt die allgemeine Struktur erhalten.

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