Konvergenz

29.07.2008, 21:14

kerrl

Konvergenz

Hallo!

Ich habe vor mir folgende Summe:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdot \cdot \cdot \end{eqnarray*}$

Ich glaub das kann ich hiermit beschreiben:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty=\frac{1}{2^{n}} \end{eqnarray*}$

Irgendwie ist das ja logisch, dass das sich der 1 nähert , aber niemals 1 wird...
Meine Frage ist:
Wie kann ich das rechnerisch belegen?

Möglicherweise (beschäftige mich alleine damit, als Vorbereitung) ist das Gesuchte das hier:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sum_{n=1}^\infty=\frac{1}{2^{n}} \end{eqnarray*}$

Was ich nicht meine ist
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}} \end{eqnarray*}$
das wäre ja 0.

Hab von 4 Konvergenzkriterien gelesen, damit kann ich glaube ich rausfinden OB etwas konvergiert, nicht wogegen.
Wär für Hilfe sehr dankbar!
Gruß

29.07.2008, 21:15

kiste

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Schau mal nach geometrischer Reihe smile

29.07.2008, 21:28

kerrl

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Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrisch...endlichen_Reihe)
gibt einen allgemeinen Weg für die Konvergenz bei einer geometrischen Reihe.

Kannst du mir die Lösung für den konkreten Falls geben oder andeuten, als Basis für mien Weiterkommen?
In der Schule sowas nciht behandelt, Studium ist ncoh nicht dran, ich möcht es mir auf diesem Weg gern selbstbeibringen

29.07.2008, 21:34

kiste

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Du hast $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k} - 1 \end{eqnarray*}$ und für den ersten Teil kannst du jetzt die geom. Reihe anwenden. Du musst einfach nur die Variablen ablesen und dann in die Formel einsetzen.

29.07.2008, 21:40

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RE: Konvergenz
Hallo,

Zitat:

Original von kerrl

Ich glaub das kann ich hiermit beschreiben:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty=\frac{1}{2^{n}} \end{eqnarray*}$

Irgendwie ist das ja logisch, dass das sich der 1 nähert , aber niemals 1 wird...

Du musst immer aufpassen mit den Begrifflichkeiten von Konvergenz.

z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ geht gegen 0, wenn n gegen unendlich geht, wird aber nie 0.
Aber $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist 0 und nähert sich nicht der 0 an.

Ebenso bei Reihen:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n} \left(\frac{1}{2}\right)^k \end{eqnarray*}$ dies geht gegen 2, für n gegen unendlich, wird aber nie 2.

Aber!
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n} \left(\frac{1}{2}\right)^k = \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^k \end{eqnarray*}$ dies ist genau 2, es nähert sich nicht der 2 an sondern ist gleich (=) 2.

Zitat:

Möglicherweise (beschäftige mich alleine damit, als Vorbereitung) ist das Gesuchte das hier:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sum_{n=1}^\infty=\frac{1}{2^{n}} \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ macht da keinen Sinn, da n die untere Grenze der Reihe ist und nicht gegen unendlich läuft.
Du kannst es so schreiben wie oben.

Zitat:

Irgendwie ist das ja logisch, dass das sich der 1 nähert , aber niemals 1 wird.

Naja wirklich logisch ist es nicht. Gut, über geometrische Reihe weiß man:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^{k}} = \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2^{k}} - \frac{1}{1} = 2 - 1 =1 \end{eqnarray*}$

Aber logisch ist es nicht. Wenn man die Reihe $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ betrachtet, so konvergiert diese nicht (der Grenzwert existiert nicht, die Reihe geht ins unendliche).

Zitat:

Hab von 4 Konvergenzkriterien gelesen, damit kann ich glaube ich rausfinden OB etwas konvergiert, nicht wogegen.

Die Grenzwerte einer Reihe lässt sich oftmals nicht (einfach) feststellen, obwohl die existieren. Manchmal klappt eine Abschätzung.
Hier kannst du wie erwähnt die geometrische Reihne nutzen.

29.07.2008, 22:22

kerrl

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Erstmal vielen Dank für die Antworten!
Dieses Thema, mit dem ich mich konfrontieren möchte, ict für mich noch ganz neu.
Mir fällts daher ncoh schwer diese Stellen nachzuvollziehen:

Zitat:

Du hast $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k} - 1 \end{eqnarray*}$

wo kommt denn die "- 1" her und warum ist die Laufvariable 0?

Zitat:

und für den ersten Teil kannst du jetzt die geom. Reihe anwenden. Du musst einfach nur die Variablen ablesen und dann in die Formel einsetzen.

wie geht das?

habe mir den Punkt im wikipedia durchgelesen, aber ich bin da noch zu unfit, um die allgemeine Form auf meinen speziellen Fall zu übertragen

29.07.2008, 22:34

kiste

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Ich habe das Summengleid für k=0 in die Summe gezogen. Damit das ganze am Ende noch gleich ist muss man es auch wieder abziehen.

Und du kannst mir nicht sagen dass du bei
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^k \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty q^k \end{eqnarray*}$
nicht in der Lage bist q zu bestimmen?

29.07.2008, 22:43

kerrl

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Nach wikipedia ist q das Verhältnis zweier benachbarter Glieder. Also je nach richtung entweder 2 oder 0,5=1/2. 1/2*1/2=1/4, 1/4*1/2=1/8 usw.
So hab ich dann q,

29.07.2008, 22:47

kiste

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Ja 1/2 ist richtig. Aber das sieht man nicht mit irgendwelchen Bemerkungen bei Wikipedia sondern einfach durch stupides Vergleichen der beiden Reihen.
Einmal steht q da und einmal 1/2, was ist dann wohl q?!

Naja egal, du hast jetzt q, in die Formel einsetzen und du kennst den Wert der Reihe

29.07.2008, 23:05

kerrl

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klar.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k} - 1 \end{eqnarray*}$
auch klar, aber gib mir mal bitte den schritt davon zu
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^k \end{eqnarray*}$

Und ist es richtig, hier
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} = a_0\frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ als ersten Wert und für q eben auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ einzusetzen?
Das Ergebnis wär schonmal wie ichs erahnt hab

29.07.2008, 23:09

kiste

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Ich betrachte halt nur die Reihe, mit der -1 verändert sich der Wert nur um 1 nach unten.
a_0 ist hier 1.

Was willst du den studieren`?

29.07.2008, 23:12

kerrl

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achso.
hab mir mal ein skript von der uni-seite gealden, mit dem ich mich da glaub ich ganz gut einarbeiten kann.
Ist zum wirklichen Erlernen vorteilhafter als ein thread aber danke soweit für die Antworten.
Werde MaTSE studieren, eignungstest bestanden, aber darauf will cih mich mehr vorbereiten

30.07.2008, 00:03

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Hi,
die geometrische Reihe ist nichts aufregendes:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} q^k = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ für |q| < 1.

Wichtig ist, dass die Summe bei 0 beginnt, deswegen muss man deine Summe, die bei 1 beginnt, auch so umformen, dass sie bei 0 beginnt.
Da man aber ja das 0. Glied (q^0=1) zuviel hat, muss man dieses wieder abziehen.

Schreib einfach mal beide Gleichungen der Summe auf, also (1/2 + 1/4 +... = 1/1 + 1/2 + 1/4 + ... - 1/1), dann sieht man warum man 1/1=1 abziehen muss.

Ansonsten steht bei Wikipedia noch extrem viel Text zur geometrischen Reihe, wirklich wichtig (bzw. was man behalten sollte), ist die obige Gleichung.
Im Studium haben wir zur geometrischen Reihe auch nicht mehr als die Gleichung gemacht, inkl. des Beweises dann, aber das ist vor dem Studium noch relativ unwichtig.

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