Diagonalisierung mit Orthonormalbasis |
| 17.05.2004, 10:36 | zhy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Diagonalisierung mit Orthonormalbasis Ich hoffe ihr könnt mir bei dieser Aufgabe helfen. Gegeben ist die Matrix A: A= 1/25* A ist orthogonal. Die Aufgabe lautet so: Diagonalisieren Sie die Matrix A mit Hilfe einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren im Körper der komplexen Zahlen. lg, zhy |
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| 18.05.2004, 08:16 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich habe das ganze mit dem üblichen Diagonalisierungsverfahren für orthogonale Matrizen gemacht und es war eine ganz hässliche Rechnerei, die nicht zu empfehlen ist, finde ich. (Das übliche Verfahren ist: 1. Eigenwerte berechnen. 2. Die Eigenräume berechnen. 3. Die Basen der einzelnen Eigenräume orthogonalisieren. (Die Eigenräume selbst stehen schon aufeinander senkrecht, weil die Matrix A orthogonal war.) 3. Die Matrix mit den berechneten Basisvektoren der Eigenräume als Spalten ist das Inverse deiner Transformationsmatrix.) Ich frage mich jetzt, was der Hinweis mit dem "im Körper der komplexen Zahlen" soll. Ich bin bei meiner Rechnung über keine imaginäre Zahl gestolpert. Vielleicht würde man das aber, wenn man im obigen Verfahren die Spalten noch normiert. Allerdings würde man dann aber auch obiges Verfahren anwenden - nur mit komplexen Zahlen zwischendurch. Vielleicht kann noch jemand etwas dazu schreiben? |
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| 20.05.2004, 03:48 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es spielt sich eh alles in R ab, da A symmetrisch ist. Die Aussagen, die wir im R^3 treffen, gelten dann auch im C^3. Da A orthogonal ist, gibt es nur Eigenwerte mit Betrag 1. Da alle Eigenwerte in R liegen, kommen nur 1 und -1 in Frage. Wir lösen das LGS (A - Id)x = 0 und bekommen so eine Basis für den Eigenraum zum Eigenwert 1. Genauso machen wir es mit (A + Id) für den Eigenwert -1. Ich habe da folgendes raus: Basis von Eig(1): 1/Wurzel(34) * (0,5,3) und 1/(5Wurzel(17)) * (17,6,-10) Basis von Eig(-1): 1/5Wurzel(2) * (4,-3,5) Wenn wir nun diese 3 Vektoren (in der gleichen Reihenfolge) in die Matrix S schreiben, dann ist S^(-1)AS eine Diagonal-Matrix mit der Diagonalen (1,1,-1). |
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| 20.05.2004, 18:42 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@WebFritzi Genau das hab ich auch raus. Aber was soll denn dann der Tip mit "in den komplexen Zahlen zu rechnen"? Der bringt doch weder Zeit- noch Rechenersparnis, weil eh nur reelle Zahlen im Spiel sind. |
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| 21.05.2004, 17:06 | zhy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
danke euch beiden für die hilfe, mitlerweile habe ich die lösung auch nachvollziehen können. der tip mit den komplexen zahlen war (denk ich mal) so gemeint, dass nur jeder unitäre endomorphismus eine orthogonal basis aus eigenvektoren besitzen muss und dieser dann diagonalisierbar ist. in den reellen zahlen muss dass nicht der fall sein. ich glaub das war kein tip, sondern zur verwirrung gedacht *g* |
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| 21.05.2004, 17:56 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Doch doch...
Das glaube ich auch. Das beantwortet sicherlich auch Irrlichts Frage. Aber ich glaube, das diente nicht NUR der Verwirrung, sondern sollte auch zum Nachdenken anregen. Und das haben wir ja auch getan, nicht wahr? *Schmunzel zu Irrlicht* |
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| 21.05.2004, 22:40 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@WebFritzi Bei Diagonalisierungsverfahren habe ich schon so einigen Aufwand betrieben, obwohl es dann mit einem Trick ganz einfach ging. Hätte ja sein können, dass es da einen Trick gibt, den nur ich nicht kenne. Aber eine andere etwas längere Lösung ist ja auch eine Lösung, als ists scho wurscht. 
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