Grenzwertbeziehung zeigen

02.05.2006, 17:25

Großes Fragezeichen

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Grenzwertbeziehung zeigen

Hallo

Wink

Ich muss die Grenzwertbeziehung $\begin{eqnarray*} \lim_{z \to 0} \frac{a^z-1}{z}=ln(a) \end{eqnarray*}$ zeigen.

In der Vorlesung hatten wir sowas ähnliches mit der e-Funktion gemacht. Jetzt habe ich versucht den Beweisweg auf meine Aufgabe zu übertragen. Bin aber nur soweit gekommen wie hier unten steht. Der entscheidende Schluss fehlt mir. Vielleich kann mir da jemand weiterhelfen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also hier das was ich hab:

$\begin{eqnarray*} \frac{a^z-1}{z} = \frac{\sum_{k=0}^\infty~\frac{[ln(a)]^k}{k!}z^k -1}{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1+\sum_{k=1}^\infty~\frac{[ln(a)]^k}{k!}z^k -1}{z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{ln(a)z+\frac{ln(a)^2}{2!}z^2+\frac{ln(a)^3}{3!}z^3+...+\frac{ln(a)^k}{k!}z^k+...}{z} \end{eqnarray*}$

jetzt z ausklammern und man bekommt

$\begin{eqnarray*} = ln(a)+\frac{ln(a)^2}{2!}z+\frac{ln(a)^3}{3!}z^2+... \end{eqnarray*}$

Und jetzt zeigt man dass das gegen ln(a) konvergiert. Und da krieg ich nur ne zeile hin weil ich nicht weiter komme.

$\begin{eqnarray*} | \frac{a^z-1}{z}-ln(a)|=|\frac{ln(a)^2}{2!}z+\frac{ln(a)^3}{3!}z^2+... | \end{eqnarray*}$ = ... -> ln(a)

Weiter komme ich nicht. Irgendwie sollte da rauskommen dass $\begin{eqnarray*} \frac{a^z-1}{z} \end{eqnarray*}$ gegen ln(a) konvergiert. Also ich müsste die letze Zeile umschreiben, oder irgendwas ausklammern, komme aber nicht drauf.....

Ich weiss auch nicht ob das der richtige Weg ist, aber der Vorlesung zufolge müsste es so funktionieren....... verwirrt

verwirrt

02.05.2006, 17:31

20_Cent

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ich nehme an, du darfst L'Hospital nicht benutzen? der wäre nämlich sehr einfach... Deinen Weg kann ich nicht ganz nachvollziehen.
mfG 20

02.05.2006, 17:34

Großes Fragezeichen

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Nein L'Hospital hatten wir noch nicht. Ich kann wenn du willst dir das aufschreiben was wir in der Vorlesung hatten, dass ist ziemlich einleuchtend.

Aber wie würde man das denn mit L'Hospital machen? Ich hab das schonmal angewand, ist aber ne ewigkeit her...

02.05.2006, 17:36

carsten

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ohne den ersten Teil angeschaut zu haben...

Du hast es doch schon fast dastehen! Alles was von a abhängt ist konstant (für z gegen null). Und alle Summanden in denen z, bzw. eine Potenz von z auftaucht gehen fuer z gegen null gegen ... ?

Damit steht dann alles da.

02.05.2006, 17:39

20_Cent

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du darfst L'Hospital nur anwenden, wenn du es schon hattest...

wie carsten sagt: wenn z genügend groß ist, ist dein term kleiner als ein beliebiges epsilon größer null, geht also gegen 0.
mfG 20

02.05.2006, 17:39

Großes Fragezeichen

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ja stimmt, hast recht.....aber ich glaub es wär besser wenn ich noch ein wenig hin und her ausklammere Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich glaub das wollten die schon noch sehn, aber mir fällt nichts ein wo mans besser sehen würde, dass es gegen ln(a) konvergiert.....

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02.05.2006, 17:42

20_Cent

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} |\lim_{z \to 0}\frac{a^z-1}{z}-ln(a)|=|\frac{ln(a)^2}{2!}z+\frac{ln(a)^3}{3!}z^2+... | = ... -> ln(a) \end{eqnarray*}$

hier steckt noch ein formaler Fehler... der lim ist ja ln(a), also ist der ausdruck =0 ! du musst den lim weglassen, dann steht da die definition des grenzwertes...
mfG 20

02.05.2006, 17:42

Großes Fragezeichen

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warte...wir hatte doch schonmal L'Hospital. Nur hatten wirs nur kurz angesprochen und nie angewendet. Daher hatte ichs wohl verdrängt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich versuchs gleich mal damit.....

Trotzdem muss es auch so gehen. In der Aufgabe wirs dieser Weg als Hinweis gegeben.

02.05.2006, 17:43

Großes Fragezeichen

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ja ja klar....der lim muss weg. das war ein tippfehler. ich hatte den ausdruck nur von oben rüberkopiert. der muss natürlich weg.

02.05.2006, 17:53

Großes Fragezeichen

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Ok ich habs mit L'Hospital versucht.

Dass ist dann ja $\begin{eqnarray*} \lim_{z \to 0} \frac {a^z-1}{z} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} u(x):=a^z-1,v(x):=z \end{eqnarray*}$

und somit hat man

$\begin{eqnarray*} \lim_{z \to 0} \frac {a^z-1}{z}=\frac{u'(0)}{v'(0)}=\frac{a^0*ln(a)}{1}=ln(a) \end{eqnarray*}$

Wäre das nach L'Hospital richtig so?

02.05.2006, 17:54

carsten

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RE: Grenzwertbeziehung zeigen
Zu L'Hospital
Da stehen schon noch Grenzwerte - ich kenne das als
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} \frac{u(x)}{v(x)}=\lim_{x \to a} \frac{u'(x)}{v'(x)} \end{eqnarray*}$

wenn u und v gegen Null gehen ... gleich "a" einsetzen geht nicht.

02.05.2006, 18:05

Großes Fragezeichen

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Ich glaub das ist hier nur ein Zufall das es hinkommt.

Hier ein Gegenbeispiel:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^z-1}{z}=1+\frac{1}{2!}z+\frac{1}{3!}z^2+... \end{eqnarray*}$

und man könnte ja auch denken, dass wenn z->0 dann geht $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{e^z-1}{z}=1 \end{eqnarray*}$ aber er ist 0. Daher muss man weiterrechnen....so glaub ich zumindest.

02.05.2006, 18:11

carsten

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Hmm, du hast recht ...

Es gibt glaub ich Faelle, in denen man Grenzwert und Summe vertauschen darf - ich weiss jetzt aber nicht mehr wann. Bei L'Hospital sind aber schon noch ein paar Formfehler - siehe editierter Post vorher.

02.05.2006, 18:19

20_Cent

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Zitat:

Original von Großes Fragezeichen
und man könnte ja auch denken, dass wenn z->0 dann geht $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} \frac{e^z-1}{z}=1 \end{eqnarray*}$ aber er ist 0. Daher muss man weiterrechnen....so glaub ich zumindest.

wie kommst du darauf, das ist falsch.
L'Hospital ist hier schon richtig, die albleitung des nenners ist ungleich null, zähler und nenner sind stetig diff'bar, alles in ordnung...
mfG 20

PS: ln(e)=1

02.05.2006, 18:22

Mathespezialschüler

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L'Hospital ist hier sowieso ziemlich sinnlos - es ist doch gerade die Ableitung der Exponentialfunktion an der Stelle 0 gesucht. Ihre Ableitung zu benutzen, wäre also mehr oder weniger ein Zirkelschluss. Das wurde auch schon desöfteren hier im Board angesprochen.
Aber der erste Post war doch schon ok. Mit der Potenzreihe (wenn das denn eure Definition der Exponentialfunktion war) geht es doch.

$\begin{eqnarray*} \lim_{z\to 0}\frac{a^z-1}{z}=\lim_{z\to 0}\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{z^{n-1}}{n!}(\ln a)^n \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kannst du einfach Summe und Grenzwertbildung vertauschen. Das folgt z.B. aus der gleichmäßigen Konvergenz der Potenzreihe.

Gruß MSS

02.05.2006, 18:23

Großes Fragezeichen

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Stimmt das dann beil L'Hospital wenn ich das so schreibe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{z \to 0} \frac {a^z-1}{z}=\lim_{z \to 0} \frac {a^xln(a)}{1}=ln(a) \end{eqnarray*}$

oder?

Es gibt aber den Satz: Seien u und v bei x=x_0 diff.bare Funktionen mit u(x_0)=v(x_0)=0 und ist v'(x_0) nicht 0, so ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{z \to x_0} \frac {u(x)}{v(x)}=\lim_{z \to x_0} \frac {u'(x)}{v'(x)} \end{eqnarray*}$

deshalbt hab ich das auch so gemacht wie oben. Weil die Vorraussetzungen aus dem Satz auf die Aufgabe zutreffen.

02.05.2006, 18:24

carsten

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ich glaub ich weiss wie Weg 1 weitergeht:

$\begin{eqnarray*} \frac{ \ln a^2z}{2!}+ \frac{ \ln a^3z}{3!}+... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{ 2\ln a z}{2!}+ \frac{ 3\ln az}{3!}+... \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man die Faktoren mit den Fakultäten verrechnen, ln a ausklammern und dann sieht das ganze ja nach e^x aus ... smile

smile

02.05.2006, 18:26

JochenX

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und wie war das noch mit dem Differentialquotienten?

$\begin{eqnarray*} \lim_{z \to 0}~\frac{a^z-1}{z}=\lim_{z \to 0}~\frac{a^z-a^0}{z-0}=.... \end{eqnarray*}$

und vielleicht kommt einem das bekannt vor.

Ich sage nur.... ach steht ja schon oben. smile

smile

02.05.2006, 18:28

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von LOED
und wie war das noch mit dem Differentialquotienten?

Bin übrigens wieder mal davon ausgegangen, dass die Ableitung noch nicht bekannt sein "darf". Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dass das ein Differentialquotient ist, habe ich ja oben schon angesprochen, aber das hast du ja anscheinend dann auch noch gesehen.
Is übrigens ein ganz schönes Durcheinander in dem Thread, wenn ich das mal sagen darf. Big Laugh

Big Laugh

Gruß MSS

02.05.2006, 18:31

JochenX

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Huch entschuldigung, während ich geantwortet habe ist der Thread ein ganzes Stückchen angewachsen.....
Deine Antwort hatte ich noch ganz übersehen......

02.05.2006, 18:34

Großes Fragezeichen

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Zitat:

Original von carsten
ich glaub ich weiss wie Weg 1 weitergeht:

$\begin{eqnarray*} \frac{ \ln a^2z}{2!}+ \frac{ \ln a^3z}{3!}+... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{ 2\ln a z}{2!}+ \frac{ 3\ln az}{3!}+... \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man die Faktoren mit den Fakultäten verrechnen, ln a ausklammern und dann sieht das ganze ja nach e^x aus ... smile

smile

ok das ist eine gute idee, glaub ich Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber warum sieht das ganze nach e^x aus? ich brauch doch am ende ln(a)?? verwirrt

verwirrt

02.05.2006, 18:37

Großes Fragezeichen

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} \lim_{z\to 0}\frac{a^z-1}{z}=\lim_{z\to 0}\sum_{n=1}^{\infty}~\frac{z^{n-1}}{n!}(\ln a)^n \end{eqnarray*}$ .

Ist den das so wie ichs am anfang gemacht habe doch nicht ganz richtig? Weil man ja damit anders rechnen müsste....

02.05.2006, 18:56

Großes Fragezeichen

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@ carsten

das kommt wirklich hin smile

smile

ich schreibs nochmal auf :

$\begin{eqnarray*} | \frac{a^z-1}{z}-ln(a)|=|\frac{ln(a)^2}{2!}z+\frac{ln(a)^3}{3!}z^2+... | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =|\frac{2ln(a)}{2!}z+\frac{3ln(a)}{3!}z^2+... | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =|ln(a)z+\frac{ln(a)}{2!}z^2+... | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =|ln(a)|(z+\frac{1}{2!}z^2+...) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq|ln(a)|(1+ |z|+|z|^2+|z|^3+...) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =|ln(a)|\frac{1}{1-|z|} -> ln(a) \end{eqnarray*}$ Tanzen

Tanzen

Juhuu

Augenzwinkern

02.05.2006, 20:54

carsten

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Zitat:

Original von Großes Fragezeichen
@ carsten

das kommt wirklich hin smile

smile

ich schreibs nochmal auf :

$\begin{eqnarray*} | \frac{a^z-1}{z}-ln(a)|=|\frac{ln(a)^2}{2!}z+\frac{ln(a)^3}{3!}z^2+... | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =|\frac{2ln(a)}{2!}z+\frac{3ln(a)}{3!}z^2+... | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =|ln(a)z+\frac{ln(a)}{2!}z^2+... | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =|ln(a)|(z+\frac{1}{2!}z^2+...) \end{eqnarray*}$

ich haette ja anders weiter gemacht

$\begin{eqnarray*} =|\ln(a)|(-1+1+z+\frac{1}{2!}z^2+...) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =|\ln(a)|(-1+e^z) \end{eqnarray*}$

Dein Weg ist auch nett Wink

Wink

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