Wurzel 2 irrational mit Primfaktorzerlegung

30.07.2008, 09:34

Altair

Wurzel 2 irrational mit Primfaktorzerlegung

Moinmoin!

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen, ich versuch nämlich grad zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt2 \end{eqnarray*}$ irrational ist, indem ich die Primfaktorzerlegung verwende...

Also, soweit bin ich jetzt schon:

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \notin \mathbb Q \end{eqnarray*}$
Annahme: $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$
Dann lässt sich $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ als vollständig gekürzter Bruch darstellen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt 2=\frac pq \end{eqnarray*}$ .
Den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac pq \end{eqnarray*}$ hab ich dann in Primfaktoren zerlegt:
$\begin{eqnarray*} \sqrt 2=\frac{p_1\cdot\ldots\cdot p_i}{q_1\cdot\ldots\cdot q_j} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p_i\neq q_j \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i,j\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Naja, und jetzt fällt mir nix anderes ein als zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ gerade ist und daraus folgt, dass auch $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ schon gerade ist. Bums, fertig ist der Beweis - ist ja auch der Beweis den ich sonst kenne... aber dafür bräuchte ich die Primfaktorzerlegung ja nicht! Mir fehlt da ein bischen das Verständnis! Oder bin ich so blind und hab was übersehen (naja, kann ja passieren bei der Hitze hier Augenzwinkern

)

Habt ihr ne Meinung oder ne Idee dazu?

Gruß, Altair

30.07.2008, 09:42

klarsoweit

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RE: Wurzel 2 irrational mit Primfaktorzerlegung

Zitat:

Original von Altair
$\begin{eqnarray*} \sqrt 2=\frac pq \end{eqnarray*}$ .

Üblicherweise quadriert man diese Gleichung.

30.07.2008, 09:49

Altair

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RE: Wurzel 2 irrational mit Primfaktorzerlegung
Ja, dann erhalte ich
$\begin{eqnarray*} 2=\left(\frac{p}{q}\right)^2\Leftrightarrow 2q^2=p^2 \end{eqnarray*}$
Und dann würde ich jetzt halt die Primfaktorzerlegung machen, oder nicht?
$\begin{eqnarray*} 2q^2=p^2\Leftrightarrow2q_1^2\cdot\ldots\cdot q_j^2=p_1^2\cdot\ldots\cdot p_i^2 \end{eqnarray*}$
Somit müsste ein $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ auf jeden fall 2 sein und damit wär ich ja dann wieder beim alten Beweis unglücklich

30.07.2008, 10:01

papahuhn

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RE: Wurzel 2 irrational mit Primfaktorzerlegung
Überlege mal, wie der Exponent der 2 auf beiden Seiten aussehen muss.

30.07.2008, 10:06

Altair

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RE: Wurzel 2 irrational mit Primfaktorzerlegung
Sorry, ich versteh nicht ganz wie du das meinst verwirrt

30.07.2008, 10:25

therisen

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Du sollst letztendlich zeigen, dass p und q gerade sind. Nun weißt du bereits $\begin{eqnarray*} 2|p^2 \end{eqnarray*}$ . Was folgt daraus für p?

30.07.2008, 10:38

papahuhn

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Zitat:

Original von therisen
Du sollst letztendlich zeigen, dass p und q gerade sind.

Das muss man nicht zeigen. Mit der Primfaktorzerlegung kommt der Widerspruch schon vorher.

30.07.2008, 10:43

Altair

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@ Thiersen:
klar, dass dann p schon gerade sein muss und daraus kann man dann auch folgern, dass q gerade ist und dass $\begin{eqnarray*} \frac pq \end{eqnarray*}$ nicht vollständig gekürzt ist und somit ein Widerspruch zur Annahme besteht.

@ Papahuhn:
Ja, so sollte es sein, aber ich komm immer auf den alten Beweis zurück... Kannst du mir deinen Hinweis nochmal etwas genauer erläutern?

30.07.2008, 10:48

papahuhn

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$\begin{eqnarray*} 2p² = q² \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} p = 2^{e_1} \cdot 3^{e_2} \cdot 5^{e_3} \cdot 7^{e_4} \hdots \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q = 2^{f_1} \cdot 3^{f_2} \cdot 5^{f_3} \cdot 7^{f_4} \hdots \end{eqnarray*}$ .

Jetzt überlege dir explizit, wie die Primfaktorzerlegung von $\begin{eqnarray*} 2p² \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q² \end{eqnarray*}$ aussehen muss, in Bezug auf den Exponenten der 2.

Ps: Es ist übrigens egal, ob der Bruch gekürzt war, oder nicht.

30.07.2008, 11:03

Altair

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Ich versuchs mal:

$\begin{eqnarray*} 2p^2=2\cdot (2^{e_1}\cdot 3^{e_2}\cdot 5^{e_3}\ldots )^2=2\cdot 2^{2e_1}\cdot 3^{2e_2}\cdot 5^{2e_3}\ldots=2^{2e_1+1}\cdot 3^{2e_2}\cdot 5^{2e_3}\ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q^2=(2^{f_1}\cdot 3^{f_2}\cdot 5^{f_3}\ldots )^2=2^{2f_1}\cdot 3^{2f_2}\cdot 5^{2f_3}\ldots \end{eqnarray*}$

So in etwa?

30.07.2008, 11:04

papahuhn

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Sehr fein. Fällt nichts auf?

30.07.2008, 11:17

Altair

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Ahhh...

also es gilt ja $\begin{eqnarray*} 2p^2=q^2 \end{eqnarray*}$ und deshalb muss für die Primzahl 2 gelten:

$\begin{eqnarray*} 2e_1+1=2f_1 \Rightarrow e_1\leq f_1 \end{eqnarray*}$ und das heißt ja, dass p Teiler von q ist, weil das ja auch für die anderen Primzahlen gilt!

Und "tätä" das ist der Widerspruch ^^

(ich hab im Beitrag vorher p und q vertauscht, und fürh das hier so weiter ... sorry dafür)

Hab ich jetzt alles verstanden?

30.07.2008, 11:22

papahuhn

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Deine Schlussfolgerung kann ich nicht nachvollziehen. Es ist viel einfacher. $\begin{eqnarray*} 2e_1 + 1 \end{eqnarray*}$ ist ungerade, während $\begin{eqnarray*} 2f_1 \end{eqnarray*}$ gerade ist. Da sich die Primfaktorzerlegung also mindestens an dieser Stelle unterscheidet, können $\begin{eqnarray*} 2p² \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q² \end{eqnarray*}$ nicht gleich sein.

30.07.2008, 11:27

Altair

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Klar, die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ... Ok, ich danke dir für deine Hilfe und Ausdauer Augenzwinkern

Einen schönen Tag noch!!

Gruß, Altair

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