Unvollständigkeit von Borel-Maßen

02.05.2006, 18:27	straussy	Auf diesen Beitrag antworten »
Unvollständigkeit von Borel-Maßen Hi Ich soll beweisen, dass der Maßraum ( $\begin{eqnarray} \mathbb{R}, B(\mathbb{R}), \mu_{B} \end{eqnarray}$ ) unvollstandig ist. ( $\begin{eqnarray} \mu_{B} \end{eqnarray}$ ist das Lebesgue- Borelsche Maß ). Ich weiß, dass $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ vollständig heißt, wenn $\begin{eqnarray} X\subset Y \in Algebra \:mit \:\mu(Y)=0\Rightarrow X\in Algebra \end{eqnarray}$ . Aber welches Y soll ich nehmen und welche Teilmenge davon? Ich hoffe Ihr könnt mir helfen. Danke schon mal Straussy
02.05.2006, 19:14	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn ich mich richtig erinnere, geht das z.B. so: 1.Schritt: Es existiert eine Nicht-Borelmenge $\begin{eqnarray} M\subset [0,1] \end{eqnarray}$ , d.h., mit $\begin{eqnarray} M\not\in B(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ . Das habt ihr hoffentlich schon gehabt. 2.Schritt: Mit Hilfe der Cantorschen Funktion $\begin{eqnarray} F(x) \end{eqnarray}$ betrachte man jetzt $\begin{eqnarray} X:=\tilde{F}(M) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \tilde{F}(y) := \inf\left\{ x\in [0,1] \bigm\| F(x)=y \right\} \end{eqnarray}$ . Dann ist nämlich $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ auch nicht borelmessbar, weil andernfalls aus $\begin{eqnarray} F(X)=M \end{eqnarray}$ und der Stetigkeit von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ die Borelmessbarkeit von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ folgen müsste. Schließlich ist $\begin{eqnarray} X = \tilde{F}(M)\subset \tilde{F}([0,1])\subset C \end{eqnarray}$ mit der Cantor-Menge $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ . Letztere ist borelmessbar, hat aber das Maß Null. P.S.: Der Nachweis im zweidimensionalen ist übrigens viel einfacher: Da nimmt man die obige Menge $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ und bildet einfach $\begin{eqnarray} X:=M \times \{ 0 \} \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} Y:=\mathbb{R} \times \{0\} \end{eqnarray}$ gilt dann $\begin{eqnarray} X\subset Y \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ hat das zweidimensionale Lebesgue-Borel-Maß Null, fertig. Vielleicht kann man diese einfachere Konstruktion auch zum Nachweis der Nichtvollständigkeit des eindimensionalen Lebesgue-Borel-Maßes nutzen, aber da bin ich momentan zu blind dazu...
02.05.2006, 19:27	straussy	Auf diesen Beitrag antworten »
Super.... vielen Dank. Ich hab zwar die Cantorsche Funktion noch nicht so ganz nicht begriffen, aber der Rest ist ziemlich einleuchtend. Die Idee mit dem $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{n}\:n>1 \end{eqnarray}$ hatte ich auch schon, aber ich hab mich wohl zu sehr darauf versteift, dass auf das eindimensionale zu reduzieren. Also vielen Dank nochmal.

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