Aufstellen von Ebenengleichungen anhand verschiedenster Vorgaben

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hausboot6 Auf diesen Beitrag antworten »
Aufstellen von Ebenengleichungen anhand verschiedenster Vorgaben
Guten Abend Leute,

ich übe gerade das Aufstellen von Ebenengleichung, wofür ich immer andere Vorgaben habe.

Das Einfachste ist ja, wenn ich 3 Punkte gegeben habe. Das kann ich.

Es ist jetzt etwas viel aber bitte bitte guckts euch an, hab mir auch viele Gedanken gemacht und es wäre schon toll wenn ihr mir in ein zwei punkten helfen könntet1!!

1. Fall
Was ist aber wenn ich eine Ebene aufstellen soll, die eine vorgegebene Gerade enthalten soll? Reicht das als einzige Vorgabe? Als Stützvektor (SV) der Ebene kann ich ja denselben nehmen wie bei der Gerade ne? Und der Richtungsvektor (RV) kann ja auch identisch sein, muss aber nicht. Aber woher soll ich denn nun einen 2. RV für die ebene nehmen?

2. Fall
Eine vorgegebene Ebene soll parallel zu der sein, die ich aufstellen muss und den Punkt A beinhalten.

Lösungsansatz:
Die RV von der gesuchten Ebene müssen gleich sein oder ein Vielfaches (d.h. alle Dimensionen mal dieselbe Zahl) und A nehme ich als SV.
ABER: Muss ich beide gesuchten neuen RV von einem(!) RV der gegebenen Gleichung ableiten oder kann ich von jedem der zwei RV der gegebenen ebene ein beliebiges Vielfaches nehmen? Und muss ich hierbei mit derselben Zahl multiplizieren?

3. Fall Die Geraden g und h (gegeben) spannen eine Ebene auf, die ich ermitteln soll

Lösungsansatz:
Als SV der Ebene kann ich ja einfach einen SV von g oder h nehmen.
Und für die zwei gesuchten RV kann ich doch auch wieder ein Vielfaches der RV von g oder h nehmen oder?

4. Fall
Die gesuchte Ebene enthält Punkt P und Gerade g

Lösungsansatz:
P als SV und dann wieder Vielfaches des gegebenen RV!?

5. Fall
Gib eine Ebenengleichung an, die die Gerade g orthogonal schneidet

Lösungsansatz:
Skalarprodukt von RV von g und gesuchtem RV von Ebene müssen 0 ergeben. Das heißt, ich setze für den gesuchten RV einfach x,y,z in die jew. Dimensionen und dann?


DANKE!!!!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

1) reicht nicht; nimm ein Papier und einen Stift; der Stift sei die Gerade, das Papier hältst du jetzt mal so, dass es den Stift enthält; gibts da nur eine Möglichkeit? neeee

2) am einfachsten klaust du einfach die beiden Richtungsvektoren
Im Fachworten gesagt: die beiden neuen Richtungsvektoren müssen die gleiche Ebene aufspannen, wie die beiden alten Richtungsvektoren
am einfachsten also die gleichen nehmen
den Punkt A als Aufpunkt nehmen ist gut

3) das funzt sowieso nur, wenn die sich schneiden (oder parallel, aber nicht identisch, sind)
wenn sie windschief sind, kannst du dadurch keine Ebene legen; 2 Stifte und ein Papier helfen...

der einfachste Fall, wenn sie sich schneiden, dann nimmst du einen beliebigen Geradenpunkt als Aufpunkt und als Spannvektoren je den Richtungsvektor
Sind sie parallel (Stifte, Papier, Ebene suchen) würde ich am einfachsten einen weiteren Punkt zu den Aufpunkten bestimmen..... und dann.....

4) Gerade nehmen (liefert Aufpunkt, ersten Spannvektor), als zweiten Ebenenvektor z.B. den Vektor vom Aufpunkt zu P

5) da gibt es wieder unendlich viele Ebenen (Stift, Papier!), am Effektivsten kommst du hier mit einer anderen Form (Koordinatenform, Normalenform) zu Recht



So lange Antwort, jetzt bist du dran, Papier und Stifte holen und nachdenken.
 
 
hausboot6 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also noch mal zurück zum 5. Fall, dieses Mal auch mit genaueren angaben!

Ich soll eine Gerade aufstellen, die senkrecht zur ebene steht und den Punkt P enthält.

E: 0 = (1/0/1) * x + 1

P (-2/0/1)

Bedingung für Orthogonalität:

(1/0/1) * (x/y/z) = 0

x + z = 0

x sei 1 --> z = -1

Richtungsvektor von gesuchter Gerade somit (1/0/-1)

Geradengleichung: x = (-2/0/1) + t (1/0/-1)

??? Ist Quatsch oder?
hausboot Auf diesen Beitrag antworten »
huch noch was
Ach ja und wie sieht's hiermit aus:

Ebene E soll parallel zu Ebene F sein und den Punkt R (-4/-5/-6) enthalten.

F: 0 = (1/0/1) * x + 1

E: x = (-1/0/-1) * (x - (-4/-5/-6)

Begründung: Der Normalenvektor von parallelen Ebenen müsste ja derselbe nur andersrum, also mit anderen vorzeichen sein... odeR?

mensch was man nicht alles fragen kann
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

zum Teil 5 mit g und P:
Vorsicht mit der Doppeldeutigkeit von x, einmal als x Dreikomponentenvektor, einmal erste Komponente in einem Vektor.

Ich nutze jetzt immer (x/y/z) für den Vektor.

Zu einer Ebene der Form ax+by+cz=d findest du schnell den Normalenvektor (a/b/c).

Deine Form ist der obigen nicht anders (nach ausmultiplizieren des Skalarproduktes). Der Normalenvektor ist dann zugleich Richtungsvektor deiner Geraden.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: huch noch was
Zitat:
Original von hausboot
Ach ja und wie sieht's hiermit aus:

Ebene E soll parallel zu Ebene F sein und den Punkt R (-4/-5/-6) enthalten.

F: 0 = (1/0/1) * x + 1

E: x = (-1/0/-1) * (x - (-4/-5/-6)

Begründung: Der Normalenvektor von parallelen Ebenen müsste ja derselbe nur andersrum, also mit anderen vorzeichen sein... odeR?

mensch was man nicht alles fragen kann

1) nix anders rum?! und dazu noch richtig formuliert, dann stimmt es (anders rum ist hier egal, da = 0)

2) kannst du schwimmen?
werner
hausboot6 Auf diesen Beitrag antworten »

haha...

also´ist die Gleichung die du aufgeschrieben hast die gesuchte Gleichung für E? Das heißt die Normalenvektoren von parallelen ebenen sind immer identisch, nur der Stützvektor also x0 ist unterschiedlich. Macht ja auch sinn irgendwie
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

wieso haha?
ist auch eine frage
ja die normalenvektoren sind identisch oder vielfache von einander.
werner
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