parameter schätzen

30.07.2008, 14:40

mickey

parameter schätzen

hallo leute,

weiß jemand von euch wie ich bei der Geometrischen-Verteilung die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg (also den Parameter p) schätzen kann???

Verteilungsfunktion:
F(x) = 1 – (1 - p)^(x + 1) für x = 0, 1, 2, …

Dichtefunktion:
P{x = k} = p(1- p)^k
für k aus N und x = Anzahl erfolgreicher Versuche

hilft da maximum-likelihood weiter??

vielen dank und lg
mickey

30.07.2008, 17:11

aRo

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, ich denke das müsste mit Maximum-Likelihood gehen.

Wenn ich jetzt Mist erzähle, hoffe ich, dass jemand schnell dazwischen funkt Augenzwinkern

Also sagen wir du hast die Realisationen k1..kn und x sei die Anzahl der Erfolge, also müsste doch dann sein
$\begin{eqnarray*} x = \sum_{i=1}^{n}{k_i} \end{eqnarray*}$ nicht wahr?

dann ist $\begin{eqnarray*} L(p|k_1, \dots , k_n) = P(X=k_1) \cdot P(X=k_2) \cdot \dots \end{eqnarray*}$
Schön alles einsetzen, zusammenfassen...

Ich denke so müsste es gehen Wink

30.07.2008, 17:23

Auf diesen Beitrag antworten »

Wobei man dann im folgenden - wie so oft bei ML - besser Loglikelihood betrachten sollte. Summen differenzieren sich einfach angenehmer als Produkte. Augenzwinkern

31.07.2008, 09:16

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: parameter schätzen
Habe ich da ein Brett vor dem Kopf?

Maximum-Likelihood geht eigentlich immer. Aber die geometrische Verteilung beruht doch wie die Binomialverteilung auf der Wiederholung eines Bernoulli-Experiments. Und bei einem wiederholten Bernoulli-Experiment ist

Zahl der Erfolge/Zahl der Versuche

der Schätzwert für die Erfolgswahrscheinlichkeit p. Fertig!

31.07.2008, 10:27

Auf diesen Beitrag antworten »

Nix mit fertig. Wenn du die Situation schon in den Rahmen von Bernoulli-Experimenten einordnen willst, dann bitte richtig:

Die hier betrachteten geometrisch verteilten Zufallsgrößen geben NICHT die Anzahl der Erfolge im Bernoulli-Experiment wieder, sondern die Anzahl der Fehlversuche bis zum ersten Erfolg! Die Stichprobe hier besteht also aus solchen entsprechenden Fehlversuchsanzahlen mehrerer Bernoulli-Versuchsreihen mit jeweils derselben, zu schätzenden Erfolgswahrscheinlichkeit.

31.07.2008, 11:08

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
Nix mit fertig. Wenn du die Situation schon in den Rahmen von Bernoulli-Experimenten einordnen willst, dann bitte richtig:

Die hier betrachteten geometrisch verteilten Zufallsgrößen geben NICHT die Anzahl der Erfolge im Bernoulli-Experiment wieder, sondern die Anzahl der Fehlversuche bis zum ersten Erfolg! Die Stichprobe hier besteht also aus solchen entsprechenden Fehlversuchsanzahlen mehrerer Bernoulli-Versuchsreihen mit jeweils derselben, zu schätzenden Erfolgswahrscheinlichkeit.

Das habe ich schon auch so gesehen. Man wiederholt eine Bernoulli-Experiment so oft, bis das erste mal ein Erfolg eintritt. Das ist eine Versuchsreihe. Man macht mehrere solcher Versuchsreihen, sagen wir n. Dann habe ich n Erfolge gehabt. Wenn N die Gesamtzahl der Versuche (addiert aus allen n Versuchsreihen) ist, dann ist n/N der Schätzwert für die Erfolgswahrscheinlichkeit p.

Das ist mir zunächst auch zu trivial erschienen. Doch mit Maximum-Likelihood kommt dasselbe heraus.

31.07.2008, 16:19

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Huggy
Wenn N die Gesamtzahl der Versuche (addiert aus allen n Versuchsreihen) ist, dann ist n/N der Schätzwert für die Erfolgswahrscheinlichkeit p.

Dann musst du aber auch dazu sagen, dass dieses N NICHT die Summe der Fehlversuchsanzahlen aus den n Versuchsreihen ist! Sondern die Summe der jeweiligen Anzahlen bis zum ersten Erfolg (also Fehlversuchsanzahl plus 1 in jeder Versuchsreihe)!

Das insbesondere deshalb, weil die obige geometrisch verteilte Zufallsgröße eben nur die Fehlversuchsanzahl beinhaltet (also "ohne" das +1).

Und richtig, dass das auch der ML-Schätzer ist, muss man schon zeigen und ist nicht so ohne weiteres selbstverständlich.

31.07.2008, 20:09

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von Huggy
Wenn N die Gesamtzahl der Versuche (addiert aus allen n Versuchsreihen) ist, dann ist n/N der Schätzwert für die Erfolgswahrscheinlichkeit p.

Es scheint mir nicht zu gelingen, den richtigen Mittelweg zu finden zwischen einer klaren Ausdrucksweise und dem Fragenden nur Hilfestellung zu geben.

Es erschien mir zumutbar, wenn der Fragesteller die Gesamtzahl der Versuche und die Zahl der Erfolge aus der Aufgabenstellung selbst ermittelt. Und auch bei nochmaligem Lesen ist mir nicht klar, wo ich angedeutet hätte, eines der beiden sei mit der Summe der k-Werte identisch.

Es erschien mir auch zumutbar, wenn der Fragesteller den eigentlich überflüssigen Weg mit Maximum-Likelihood erst mal selbst versucht. Aber nachdem er sich bisher nicht gerührt hat, bringe ich das jetzt zu Ende.

Man macht n Versuchsreihen. Bei jeder Versuchsreihe wird ein Bernoulli-Experiment so oft wiederholt, bis der erste Erfolge eintritt. Die Zahl der Fehlversuche vor dem ersten Erfolg in der Versuchsreihe i sei ki. Die Erfolgswahrscheinlichkeit p ist immer dieselbe. Dann ist n auch die Gesamtzahl der Erfolge. Und für die Gesamtzahl N der Versuche gilt:

$\begin{eqnarray*} N= \sum_{i=1}^n~(k_i + 1)= n+ \sum_{i=1}^n~k_i \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit, das Ergebnis der Versuchsreihe i zu bekommen, ist:

$\begin{eqnarray*} L_i= p(1-p)^{k_i} \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit, alle n Versuchsserien mit dem gegebenen Ergebnis zu bekommen, ist:

$\begin{eqnarray*} L= \prod_{i=1}^n~L_i \end{eqnarray*}$

Es folgt:

$\begin{eqnarray*} L= p^n (1-p)^{\sum_{i=1}^n~k_i}=p^n (1-p)^{N-n} \end{eqnarray*}$

ML-Schätzer für p ist das p, das L maximiert, welches identisch ist mit dem p, das lnL maximiert. Es ist:

$\begin{eqnarray*} lnL=nlnp+ (N-n)ln(1-p) \end{eqnarray*}$

Ableiten nach p und Nullsetzen ergibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dp}lnL = 0= \frac{n}{p} - \frac{N-n}{1-p} \end{eqnarray*}$

Und das ergibt schließlich:

$\begin{eqnarray*} p= \frac{n}{N} \end{eqnarray*}$

31.07.2008, 21:21

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Huggy
Es scheint mir nicht zu gelingen, den richtigen Mittelweg zu finden zwischen einer klaren Ausdrucksweise und dem Fragenden nur Hilfestellung zu geben.

Das Problem ist, dass in der obigen Fragestellung keine Rede ist vom Bernoulli-Experiment, sondern von geometrisch verteilten Zufallsgrößen.

Wenn du das richtigerweise in ein Bernoulliexperiment einbettest - was denkbar, aber nicht zwingend erforderlich ist, um die vorliegende Aufgabe zu lösen - dann wäre es natürlich nicht schlecht, auch die verwendeten Symbole klar und deutlich einzuführen. Bei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ hast du das getan, bei $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ aber eben sehr missverständlich, und darauf darf man ja wohl noch hinweisen, oder? Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

parameter schätzen

Verwandte Themen