komplexe Zahlen - Polardarstellung, Multiplikation, Sinn des Arguments?

03.05.2006, 03:19

°°Ben³

komplexe Zahlen - Polardarstellung, Multiplikation, Sinn des Arguments?

Hallo,
ich habe mal eine Frage zum Argument einer komplexen Zahl.

Hier steht

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ wird ein Argument (oder auch Winkel oder Phase) von z genannt. Da $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi+2\pi \end{eqnarray*}$ demselben Winkel entsprechen, ist die Polardarstellung zunächst nicht eindeutig. Deshalb schränkt man \varphi meist auf das Intervall [ $\begin{eqnarray*} -\pi;\pi \end{eqnarray*}$ ] ein und spricht dann von dem Argument von $\begin{eqnarray*} z\neq 0 \end{eqnarray*}$ ; der Zahl 0 ließe sich jedes beliebige Argument zuordnen.

Jou, klasse.
Meine Frage ist jetzt ... was mach ich denn eigentlich mit dem Argument?

Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen steht (in einer Formelsammlung von Springer), dass man Beträge multiplizieren und Argumente addieren muss.

Wer nachschauen möchte:
Springers Mathematische Formeln, 2.Auflage

Seite 62

So ganz verstehe ich erstens nicht, was diese Argumente mit der Multiplikation zu tun haben und zweitens, wie man diese ausrechnet.

Ich hab schon verstanden, dass man nur in der Polardarstellung auf diese Argumente trifft .. aber so wirklich habe ich den Sinn dahinter noch nicht verstanden.

Wäre erfreut, wenn mir jemand helfen könnte.

Dankö Freude

03.05.2006, 07:39

Egal

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In der Polardarstellung wird der Betrag angegeben das ist die Entfernung des Punktes zum Ursprung sowie das Argument. Das ist der Winkel den der Strahl vom Ursprung zum Punkt mit der x-Achse einschliesst. Damit bekommt man gewissermassen die Richtung in die der Punkt liegen muss.

Die Tatsache das die Argumente bei der Multiplikation von 2 komplexen Zahlen addiert wird lässt sich auf die Additionstheoreme zurückführen.

03.05.2006, 07:42

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Im Endeffekt kommen die Winkel doch dadurch zustande, dass man versucht den Real- und Imaginärteil anschaulich auszudrücken. Da arbeitet man -wie Egal bereits sagte- mit dem Betrag und auch mit den Sätzen aus der Trigonometrie.

Umrechnungsformeln für die Argumente sind hier sehr gut erklärt:

http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahlen

03.05.2006, 14:08

°°Ben³

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Zitat:

Original von Egal
Das ist der Winkel den der Strahl vom Ursprung zum Punkt mit der x-Achse einschliesst. Damit bekommt man gewissermassen die Richtung in die der Punkt liegen muss.

Was "das"? Das Argument einer komplexen Zahl?

Wenn ja, dann *ploink*. smile

@n!:
Auf der Wiki-Seite war ich ja schon, siehe obigen Link. Augenzwinkern

03.05.2006, 14:10

JochenX

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Ja, stand doch auch im Wikitext, das man das "Argument" auch Winkel nennt.
Das ist einfach genau dieser Winkel.

und mit etwas simpelster Trigonometrie kannst du jetzt auch Realteil=r*cos(phi) usf. herleiten (r ist der Betrag der komplexen Zahl)

03.05.2006, 14:14

°°Ben³

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Jou, habs jetzt ... Hammer

Sorry. Im Nachhinein eine unnötige Frage .. Augenzwinkern

Danke nochmals.

03.05.2006, 15:46

Mathespezialschüler

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