Eigenvektoren

30.07.2008, 18:49

Irrstern

Eigenvektoren

,

will die eigenvektoren dieser matrix berechnen:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 4&1&2\\0&4&3\\0&0&5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die eigenwerte sind direkt ablesbar: 4,4,5

für den ersten eigenwert hab ich den eigenvektor (1,0,0) bestimmt.
nun will ich den zweiten eigenvektor bestimmen und find keine lösung.

ich habe ja folgendes gleichungssystem:
$\begin{eqnarray*} x_2+2x_3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x_3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$
offenbar muss x_3 null sein, aber was ist dann mit der ersten gleichung?
bin wohl blind, da ich nicht sehe wie ich dieses gls lösen kann....

30.07.2008, 18:58

kiste

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Es gibt nicht den Eigenvektor, denn es gibt unendlich viele Eigenvektoren. Was man machen kann ist eine Basis des Eigenraums anzugeben.

Was dich anscheind irritiert ist das es zum ersten EV nur "einen" Eigenvektor gibt, d.h. der Eigenraum 1-dimensional ist. Das kann aber, falls die Matrix nicht diagonalisierbar ist, durchaus vorkommen.

30.07.2008, 19:06

Irrstern

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das es nicht den eigenvektor gibt weiß ich, hatte mich grad falsch ausgedrückt.
ich will die jordannormalform berechnen und daher die hauptvektoren berechnen. nun hab ich ja ein problem, da ich nur zwei eigenvektoren habe. wie bekomme ich den dritten raus?

30.07.2008, 19:09

kiste

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Das Problem das man nicht genug Eigenvektoren hat, hat man eigentlich fast immer den ansonsten würde man ja einfach diagonalisieren Augenzwinkern

Wie ist den die Definition des Hauptvektors? Wenn du das nachgeschlagen hast, weißt du auch wie du den Hauptvektor berechnen kannst.
Wenn du nur die Jordan-Normalform haben willst, kannst du übrigens auch abkürzen Augenzwinkern

30.07.2008, 19:17

Irrstern

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ok, die def.: der vektor v zum eigenwert lambda ist hauptvektor wenn .... (http://de.wikipedia.org/wiki/Hauptvektor)

ok, also ist bekomme ich mein zweiten hauptvektor so raus:
$\begin{eqnarray*} (A-\lambda E)\vec{x_2}=\vec{x_1} \end{eqnarray*}$
dann hab ich x_2=(2,-1,0)!!
danke vielmals!!

30.07.2008, 19:30

kiste

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Mhh da hab ich was anderes raus.
Du hast doch
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\0&0&3\\0&0&1\end{pmatrix}x = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Aus der unteren Gleichung folgt $\begin{eqnarray*} x_3 = 0 \end{eqnarray*}$ , aus der obersten folgt $\begin{eqnarray*} x_2 = 1 \end{eqnarray*}$ . Also wären doch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} y\\1\\0\end{pmatrix},y\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ die möglichen Hauptvektoren, oder?

edit:
Hab jetzt die Matrix mal mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\0&1&3/5\\0&0&1/5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ konjungiert, scheint das richtige rauszukommen

30.07.2008, 21:14

Irrstern

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super danke, hab jetzt auch das richtige raus:

$\begin{eqnarray*} S= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0& -5 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow J=\begin{pmatrix}4&1&0\\0&4&0\\0&0&5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun soll ich ein Anfangswertproblem lösen.

$\begin{eqnarray*} \dot{x}(t)=Ax(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x(0)=(1,2,0)^T \end{eqnarray*}$

irgendwie hab ich ein fehler drin, find ihn nur nicht.
mein lösungsweg:

$\begin{eqnarray*} x(t)=e^{At}x(0)=e^{SJS^{-1}t}x(0)=Se^{Jt}S^{-1}x(0)=Se^{Dt} e^{Nt}S^{-1}x(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow e^D=\begin{pmatrix}e^4&0&0\\0&e^4&0\\0&0&e^5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} N=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} N^2=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

e^N=E+N+...(rest ist null)
nun hab ich noch x(0) eingesetzt und erhalte $\begin{eqnarray*} x(t)=(3e^{4t},2e^{4t},0)^T \end{eqnarray*}$
wenn ich t=0 als probe bilde bekomme ich was falsches. hab ich ein rechenfehler gemacht oder hab ich ein logischen fehler gemacht??

31.07.2008, 08:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von Irrstern
irgendwie hab ich ein fehler drin, find ihn nur nicht.
mein lösungsweg:

$\begin{eqnarray*} x(t)=e^{At}x(0)=e^{SJS^{-1}t}x(0)=Se^{Jt}S^{-1}x(0)=Se^{Dt} e^{Nt}S^{-1}x(0) \end{eqnarray*}$

Ich mache mal ein Fragezeichen an diesen Ansatz. Ich würde da $\begin{eqnarray*} x(t) = e^{\lambda \cdot t} \cdot x(0) \end{eqnarray*}$ vorschlagen. lambda ist ein Eigenwert der Matrix.

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