Bild im algebraischen Abschluss

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kiste Auf diesen Beitrag antworten »
Bild im algebraischen Abschluss
Hi,

zu meiner nächsten Aufgabe:
Sei ein algebraischer Abschluss zu . Bestimme alle Homomorphismen und deren Bilder.

Okay seien jetzt die Abbildungen die ich suche.
Als erstes wähle ich die Nullabbildung. Deren Bild ist offensichtlich {0}.

Also kann ich von nun an annehmen dass und damit gelten muss.
Hätte ich eine einfache Körpererweiterung so würde ich das Element auf eine Nullstelle des zugehörigen Minimalpolynoms schicken. Damit ich dass auch hier rechtfertigen kann würde ich folgendermassen argumentieren:
Wenn ein Homomorphismus ist, dann auch mit . Also ist das Bild der beiden Erzeugenden festgelegt durch die Nullstellen ihres jeweiligen Minimalpolynoms.

Ich erhalte also folgende 8 Homomorphismen mit und .

Wenn ich das recht sehe sind die Bilder dieser 8 Homomorphismen wieder selbst, sie sind also eingeschränkt auf Automorphismen.

Ist das korrekt? Habe ich damit auch alle Homomorphismen gefunden oder gibt es eine Lücke in der Argumentation?

Gruß kiste
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild im algebraischen Abschluss
Zitat:
Original von kiste
Als erstes wähle ich die Nullabbildung.


Das ist kein Körperhomomorphismus.

Zitat:
Original von kiste
Ich erhalte also folgende 8 Homomorphismen mit und .

Wenn ich das recht sehe sind die Bilder dieser 8 Homomorphismen wieder selbst, sie sind also eingeschränkt auf Automorphismen.


Korrekt.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, hab nur Linearität geprüft Hammer damit sind die 8 angegebenen Homomorphismen also alle?

Hat es einen bestimmten Grund das die Bilder wieder der Ausgangskörper sind? Kann man das irgendwie zu einem allgemeineren Satz zusammenfassen?

Gruß kiste
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Nachtrag: Mir gefällt deine Argumentation nicht:

Zitat:
Original von kiste
Wenn ein Homomorphismus ist, dann auch mit .


Wieso?

Ich hatte in etwa so argumentiert: Da jedes ein -Homomorphismus ist (Q bleibt invariant), muss und gelten. Daher gibt es höchstens 8 Homomorphismen. Andererseits zeigt 3.4/8, dass es mindestens 8 Homomorphismen gibt.

Schau dir die Aufgabe nochmal an, wenn du das Kapitel über die Galois-Theorie durchgearbeitet hast. Augenzwinkern
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

wieso sollte die Einschränkung kein Homomorphismus sein? Ich sehe keine Eigenschaft die dadurch kaputt geht.
Wie argumentierst du sonst dass man nur auf die Nullstellen des Minimalpolynoms abbilden darf?
Lemma 3.4/8 beschränkt sich ja auf einfache algebraische Körpererweiterungen.

Bis zur Galois-Theorie sind es ja noch einige Seiten, ich hoffe mal die nächsten Kapitel sind schneller zu verstehen Big Laugh
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
wieso sollte die Einschränkung kein Homomorphismus sein? Ich sehe keine Eigenschaft die dadurch kaputt geht.


Es war schon spät. Jetzt stört mich auch nichts mehr daran Big Laugh

Zitat:
Original von kiste
Wie argumentierst du sonst dass man nur auf die Nullstellen des Minimalpolynoms abbilden darf?


Lies dir einfach den letzten Satz vor Lemma 8 nochmal durch.

Zitat:
Original von kiste
Bis zur Galois-Theorie sind es ja noch einige Seiten, ich hoffe mal die nächsten Kapitel sind schneller zu verstehen Big Laugh


Also es wird nicht leichter (aber schön) Augenzwinkern
 
 
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt etwas weitergelesen. Der Körper ist ja richtig interessant.
Kann es sein das sowohl normal als auch seperabel ist?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.
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