fläche eines dreiecks - schöne aufgabe

03.05.2006, 20:30

riwe

fläche eines dreiecks - schöne aufgabe

Der Punkt F ist ein beliebiger Punkt der Gerade g:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 7 \\ 6 \\ -5 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} -1 \\ -5 \\ 5.5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Zeige, dass für die Flächeninhalte der Dreiecke ACF und ABC das Verhältnis 1:2 gilt! ( A(11|8|-9); B(3|4|-1); C(9|-2|2) .
viel spaß
werner

03.05.2006, 21:33

Leopold

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Vielleicht bin ich ja blind - aber was ist an dieser Aufgabe so aufregend? Das ist doch lediglich eine und nicht einmal schwere Rechenaufgabe. Schließlich sind der Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{u} \end{eqnarray*}$ der Geraden und der Vektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AC} \end{eqnarray*}$ linear abhängig, so daß beim Kreuzprodukt die Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} \vec{u} \times \overrightarrow{AC} = \vec{o} \end{eqnarray*}$ verschwindet.

03.05.2006, 22:31

rain

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schön,muss ja nicht gleich schwer bedeuten.

03.05.2006, 23:15

JochenX

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schlecht, ich habe als Flächeninhalte vom Dreieck ABC 9 Einheiten raus.
ACF hingegen hat bei mir $\begin{eqnarray*} 9*\frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$ Einheiten.....

oups, da habe ich mich wohl verrechnet, aber die t sind sooo schön rausgeflogen.

:-\

04.05.2006, 04:40

Egal

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Die Gerade g(A,C) ist parallel zur gegebenen Gerade g. Daher ist das Verhältnis der Dreiecke gegeben durch das Verhältnis des Abstands der Geraden g zur Geraden g(A,C) und dem Abstand des Punktes B zur letzeren.

04.05.2006, 05:09

riwe

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sollte eigentlich ohne verwendung des vektorproduktes berechnet werden.
aber leopold hat schon recht, da gibt es wohl auch nicht viel her.
die idee war: da g parallel zu AC, genügt es, die fläche A für ein beliebiges t zu berechnen. und im (rechtwinkeligen) dreieck ABC liegt der mittelpunkt der strecke BC auf g (t = 1), woraus A(ACF) = 27 folgt (A(ABC)=54).
na ja wie es so schön heißt bei den alten lateinern:
de gustibus non est disputandum, oder so ähnlich
werner

04.05.2006, 05:12

Leopold

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Zitat:

Original von rain
schön,muss ja nicht gleich schwer bedeuten.

Ohne Zweifel. Dennoch entgeht mir die spezielle Ästhetik dieser Aufgabe.

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix} \, , \ \ \ \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -2 \\ -10 \\ 11 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} ABC \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} F(ABC) = \frac{1}{2} \, \left| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right| = 2 \, \left| \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 \\ -10 \\ 11 \end{pmatrix} \right| = 2 \, \left| \begin{pmatrix} 9 \\ 18 \\ 18 \end{pmatrix} \right| = 18 \, \cdot \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right| = 54 \end{eqnarray*}$

Indem man $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 2t \end{eqnarray*}$ substituiert:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AF} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + t \, \overrightarrow{AC} \end{eqnarray*}$

Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} ACF \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} F(ACF) = \frac{1}{2} \, \left| \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AF} \right| = \frac{1}{2} \, \left| \begin{pmatrix} -2 \\ -10 \\ 11 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} + t \, \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AC} \right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2} \, \left| \begin{pmatrix} -18 \\ -36 \\ -36 \end{pmatrix} \right| = 9 \, \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right| = 27 \end{eqnarray*}$

04.05.2006, 10:15

JochenX

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{36^2+4*36^2+4*36^2}=\sqrt{9*36}=18 \end{eqnarray*}$ Fehler Nummer 1
$\begin{eqnarray*} \sqrt{18^2+36^2+36^2}=\sqrt{18*9}=... \end{eqnarray*}$ Fehler Nummer 2

wenn ich die nicht mache Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} ABC: \frac{1}{2}*\sqrt{9*36^2}=3*36/2=54 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ACF: \frac{1}{2}\sqrt{18^2*9}=3*18/2=27 \end{eqnarray*}$

ganz große Runde schämen.

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