Extremalprobleme

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andilatte89 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremalprobleme
Ich hab ne Mathe-HA, über die ich gar nich glücklich bin. Würde mich freuen wenn mir mal jemand den Rechenweg mit allem Drum un Dran erklärt. Biiiiiiitte!!!



Die Summe zweier natürlicher Zahlen, deren Produkt 100 ist, soll so klein wie möglich sein. Wie heißen diese Zahlen?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

a*b=100, da gibts ja schon gar nicht sooo viele Wahlen für a und b aus den natürlichen Zahlen

probiere diese paar Kombinationen doch einfach aus
andilatte89 Auf diesen Beitrag antworten »

heißt das dann a=100/b? oder so?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

schon richtig, nach Wahl von b kannst du so a bestimmen.
Dabei muss b ein Teiler von 100 sein, sonst wäre a ja keine natürliche Zahl.

100 hat 9 Teiler b, die du testen musst.
andilatte89 Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Problem ist ja erstmal die Haupt-und Nebenbedingung. Wie soll ich denn am besten anfangen?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Funktion aufstellen und differenzieren ist da eh nicht viel, ich weiß auch nicht, welche Klasse du bist.


Es soll a+b minimal sein; dazu ist die Nebenbedingung a*b=100 und a,b sind natürliche Zahlen

es gibt nur wenige natürliche Zahlenpaare (a,b), die die Nebenbedingung erfüllen, z.B. (1,100) wäre ein solches Paar.
 
 
andilatte89 Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du mir vielleicht deinen Lösungsweg zeigen, damit ich weiß was ich machen muss. Hab das nämlich noch nich so lange. Bin Klasse 11
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Verweis darauf: Stichwort: Komplettlösungen

Nein.

Was hattet ihr bislang für Aufgaben? wie habt ihr die bislang gelöst?
Mein Vorschlag ist einfach, nicht unbedingt der schnellste, aber er führt zum Erfolg.
kA, warum du ihn nicht einfach durchführst.


Mit etwas Hintergrundwissen kann man die Lösung auch gleich erraten, aber 9 Paare (5 reichen sogar wegen Symmetrie) einzusetzen, kann nicht sooo schwer sein.
andilatte89 Auf diesen Beitrag antworten »

also.....

a*b=100

Das stelle ich nach a um... Dann heißt das a=100/b
Das setze ich dann in die Ausgangsgleichung ein...
Das wäre dann 100/b*b und dann muss ich ableiten oder?
Krissi123 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn du in der 11 bist, hattet ihr ja sicherlich schon etwas Diiferentialrechnung und sollt es sicherlich auch auf diesem Wege lösen. Auch wenn es bei diesem Problem nicht so ganz sinnvoll ist, hier mal ein paar Tipps:

Deine Nebenbedingung lautet:


Deine Zielfunktion lautet:

Diese Funktion soll hinterher minimal gemacht werden (d.h. es sollen Minima gesucht werden).

Da du in deiner Zielfunktion zwei Variablen hast und damit ableiten und so weiter nicht so toll funktioniert (in der 11 :-)), nimmst du dir die Nebenbedingung zur Hilfe. Deswegen hab ich das auch umgestellt. Also hat man:



Von dieser Funktion suchst du jetzt Minima.
Weißt du, wie das geht?

mfg
krissi
andilatte89 Auf diesen Beitrag antworten »

warum erst a*b und dann auf einmal a+b?
Krissi123 Auf diesen Beitrag antworten »

Weil die Summe der beiden Zahlen minimal sein soll! Das heißt a+b soll minimal werden.
Dann ist gegeben, dass das Produkt 100 ergibt. Also a*b=100 . Und das ist deine Nebenbedingung!
andilatte89 Auf diesen Beitrag antworten »

aaaaah, hätt ich mir auch denken können. Das hab ich ja alles jetz verstanden. Wie sucht man denn Minima. Bis jetz hatten wir nur max
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Das Prinzip ist das gleiche wie beim Maximum, nur dass sein muss.
andilatte89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab das jetz trotzdem mal mit ABleitungen gemacht. Von
S=100 * b^-1 + b
S' = -100 * b^-2 +1
S'' = 200 * b^-3
andilatte89 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay bin zu nem Ergebnis gekommen. Nämlich 0,2.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von andilatte89
Okay bin zu nem Ergebnis gekommen. Nämlich 0,2.

sind 0 und 2 zwei Zahlen, deren Produkt 100 ist?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt also die Nullstellen von bestimmen und in einsetzen.

//Edit: Zu spät, siehe LOED
andilatte89 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, natürlich nich.

S' = 0
0 = -100 * b^-2 +1
1 = 100 / b^2
b^2 = 100
sqrt
b1 = 10
b2 = -10 entfällt


10 in S" und da kommt bei mir 0,2 raus.

0,2 zeigt mir dass es größer 0 ist. Somit Minimum

10*10=100
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das Paar a=10, b=10 ist richtig




an Krissi, 42:
ich würde an eurer Stelle etwas aufpassen, wann man dieses Verfahren mit dem Ableiten usf. anwendet. Hier funktioniert es, allerdings wirklich nur aus bloßem Zufall, dass die reelle Lösung gerade natürlich ist.
Versucht das ganze mal z.B. mit der Bedingung a*b=112, wenn da KEINE Quadratzahl steht.
Dann liefert euch das Verfahren , nicht in IN und ihr seid als schlau als wie zuvor.

Das ist ein Verfahren für reelle Lösungen, diskrete Werte (wie hier in IN) findet man dabei üblicherweise nicht.



Übrigens, vielleicht interessiert dich das noch andilatte:



du siehst, dass dein gefundenes Extrema auf ganz IR betrachtet natürlich niemals minimal ist....
andilatte89 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist jetz meins falsch?
andilatte89 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke danke, ihr habt mir geholfen. Danke an LOED, Krissi123 und 42
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von andilatte89
Ist jetz meins falsch?

nein, allerdings nur wegen des beschränkten Zahlenraums; mit dem Verfahren, dass du da angewandt hast, ist die Lösung "zufälligerweise" richtig.
Leider kann man es nur so sagen, das liegt aber nicht an dir und deiner Rechnung, die ist gut.

Das liegt an der Aufgabe, wenn ihr das so lösen sollt, wie du es getan hast.
Wie schon gesagt, versuche das ganze mal mit a*b=112.
Dann findest du es auf deine Weise nicht mehr, auf meine schon.
Krissi123 Auf diesen Beitrag antworten »

Allerdings ist davon auszugehen, dass man in der 11. Klasse Aufgaben bekommt, die dann auch auf diesem Wege sinnvoll zu lösen sind. Klar, dass das nicht das optimalste Verfahren ist, um solche Aufgaben zu lösen...
Crotaphytus Auf diesen Beitrag antworten »

@LOED: Na ja, also ich persönlich find Lösungen durch Ausprobieren immer ziemlich unschön... Und wenn du jetzt für a*b ne sehr große Zahl nimmst hast du da auch gut was zu tun.

Allerdings müsste das Verfahren da genau genommen auch funktionieren, zumindest wenn die Funktion, die man sich bastelt, stetig ist. Dann kann man doch einfach die Werte nehmen, die dem Minimum am nächsten sind, und die testen. Dies müsste man dann genau genommen noch für jedes Minimum, das sich ergibt, machen, hat damit aber vermutlich sehr viel weniger Auswahl als mit deinem Brute-Force-Verfahren.

Das wär bei so was zumindest mein erster Ansatz. Funktioniert wie gesagt natürlich nur, solang die Funktion im interessierenden Bereich (hier also IR+) stetig ist, aber das sollte sie bei Optimierungsaufgaben ja eigentlich schon sein. Oder überseh ich da jetzt was?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Dann kann man doch einfach die Werte nehmen, die dem Minimum am nächsten sind, und die testen.

Diese Paare muss man dann aber auch erst mal finden, so einfach ohne "Suchen" ist das auch wieder nicht.

Aber so sollte es noch gehen, das stimmt schon....
*kein Gegenbeispiel einfall* <- zumindest nicht für diesen speziellen Aufgabentyp.


@Krissi: stimmt auch wieder, aber als Begründung "Schulaufgabe, da geht das so".... naja.... ^^


Habt aber beide schon recht....
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