Quotientenmenge-/abbildung/-raum |
04.05.2006, 15:33 | kingskid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Quotientenmenge-/abbildung/-raum könnt ihr mir bei diesem thema weiterhelfen? also wir ham ein haufen definitionen in der VL aufgeschrieben, aber ich weiß nicht so wirklich, wie ich mir das vorstellen soll... fängt eigentlich schon bei Äquivalenzrelationen an: Sei M eine Menge. R Teilmenge aus MxM heißt Äquivalenzrelation auf M, falls für alle m, n, r aus M gilt: Reflex.Symm.,Transitiv. Was ist dieses R aus MxM? ist das die Menge aller Abbildungen von M nach M??? und M/R heißt Quotientenmenge von M bzgl R. M/R = Menge der Äquivalenklassen von M bzgl R. was muss ich mir unter dem M/R vorstellen?? und was ist ein quotientenraum? |
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04.05.2006, 15:39 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Oh oh, und du hast Lineare Algebra 1 bestanden? Oder wiederholst du das erste Semester? Das R ist, wie schon oben geschrieben steht, eine Teilmenge von . Beispiel: Eine Ebene E ist eine Teilmenge des Für den Rest siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Faktorraum oder http://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_group Gruß, therisen |
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04.05.2006, 15:42 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
das hast du sehr schlampig aufgeschrieben und ich sehe hier gar nicht, was m,n,r sind und was die mit deiner Relation zu tun haben MxM ist das Kreuzprodukt einer Menge mit sich selbst es ist AxB={(a,b) : a in A, b in B} die Menge aller geordneten Paare; hier also MxM ist die Menge aller Paare aus Elementen aus M. Eine Teilmenge davon ist eine Relation. du setzt einfach x~y genau dann wenn (x,y) in der Teilmenge ist. |
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04.05.2006, 18:37 | kingskid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
oha, dankeschön für eure erklärungen und die links ... Ist ein Faktorraum das gleiche wie ein Quotientenraum? in dem wiki-artikel steht nämlich:" Die Menge der Äquivalenzklassen wird mit V / U bezeichnet und heißt der Faktorraum von V nach U. " ? @LOED: tut mir leid, war bissle zu faul das alles hinzuschreiben: m,n,r sind Elemente aus M. 1.) reflexivität: (m,m) aus R 2.) Symmetrie: (m,n) aus R, daraus folgt (n,m) aus R 3.) Transitivität: (m,n) aus R und (n,r) aus R, daraus folgt (n,r) aus R. d.h. R ist eine Teilmenge von der Menge aller Paare von Elementen aus M für die eine bestimmte Relation zutrifft? und eine Relation ist irgendeine Zuordnung, z.B. gleicher Geburtstag oder so was im übertragenen sinne? hab dazu mal noch ein paar bücher gewälzt, und bin auf folgendes gestoßen: " Man nennt V/U den Quotientenvektorraum von V nach U. Diese Bezeichnung entspricht der Vorstellung, dass man U aus V 'herausdividiert', weil U in V/U zur Null wird." Könnt ihr mir bitte erklären, warum U zur Null wird??? @therisen_: ob dus glaubst oder nicht, ich hab LA I gar nicht mal so schlecht bestanden - dank so manchem mathe-forum |
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04.05.2006, 19:37 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
eigentlich ist R die Relation selbst..... wie schon gesagt, du hast eine Menge M und definierst x~y, wenn da irgendwas zutrifft (wegen mir, wenn M eine Menschenmenge, dann könnte x~y bedeuten, dass x und y am gleichen Tag Geburtstag haben). Wenn x~y, dann ist das Paar (x,y) drin. Als Beispiel: sei M={1,2,3}, und R eine Relation R ist eine Teilmenge von MxM, z.B. R={(1,1),(1,2),(2,3)} das heißt dann: 1~1, 1~2, 2~3 alle anderen Kombinationen stehen NICHT in Relation. Ist R nun eine Äuivalentrelation ~ von M, so kann man mit M/~ die Menge aller Äquivalenzklassen betrachten. Das nennt man dann Quotientenraum, wobei mir der Begriff neu ist. Vom Faktorraum redet man allgemein, wenn man Vektorräume nach Unterräumen faktorisiert. Dabei entsteht wieder ein Vektorraum. Faktorisieren nach Unterräumen braucht dabei etwas mehr Theorie, grob gesagt: wir basteln eine Äquirel, indem wir sagen: sei V VRm, U Unterraum: x~y :<=> x-y in U, wenn sich also x und y nur um ein Element aus U unterscheiden. Das ganze wird dann zu einem Vektorraum durch (x+U)+(y+U)=(x+y)+U und a*(x+U)=(ax)+U
kannst du damit vielleicht selbst erklären.... der "Nullvektor" dieses neuen Raums ist die Äquivalenzklasse des Nullvektors von V, das ist gerade U. |
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04.05.2006, 22:01 | kingskid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
danke für deine erklärungen und das beispiel - so kann ich mir das schon eher vorstellen wie spricht man "M/~" eigentlich? bedeutet x + U , dass ich alle Elemente von U zu x addiere? aha,... aber warum ist die Äquivalenzklasse des Nullvektors von V der Nullvektor des neuen Vektorraums ... ?? was ist eigentlich eine Äquirel, hab das noch nie gehört/gelesen ?? |
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04.05.2006, 23:37 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
"M modulo ~"
Sozusagen, ja. x ist beliebig aber fest ( ), und U eben eine Menge (Unterraum).
auf Jochens Faulheit. Gemeint ist eine Äquivalenzrelation.
Den Satz verstehe ich nicht. Aber das Einselement von z.B. G/N ist 1N=N (multiplikativ, Komplexmultiplikation). Vgl. auch den kanonischen Epimorphismus . EDIT: Evtl. meinst du , aber das ist doch klar, oder? Oder vielleicht ? Gruß, therisen |
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05.05.2006, 19:10 | kingskid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ahso, okay danke dir... hm mit dem letzten hab ich das gemeint was LOED geschrieben hat:
das war mir nicht ganz klar. aber hat das vielleicht was damit zu tun, dass wenn ich ein x aus U hab: x - 0 (soll Nullvektor sein) = x ist aus U, d. h. 0~x d.h. [x]=[0] und damit ist [0] das Nullelement von V/U ... bzw eben diese Äquivalenzklasse und damit U - oder schmeiß ich jetzt alles durcheinander?? |
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06.05.2006, 00:37 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
bisschen kompliziert Du hast dann halt diese Nebenklassen (das gleiche wie Äquiv.klassen bzgl. unserer x~y, x-y in U) bzgl. des Unterraums: die sehen so aus: x+U Nebenklasse von x [x+U:={x+u mit u in U}] Und darauf definierst du wieder Vektorraumdinge: Addition von Vektoren: (x+U)+(y+U)=(x+y)+U und a*(x+U)=(ax)+U ERST DAMIT HAST DU MIT V/U WIEDER EINEN VEKTORRAUM Axiome darfst du gerne mal nachrechnen. dann überleg selbst, was der Nullvektor davon ist. Das ist gerade 0+U=U |
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06.05.2006, 16:45 | kingskid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
okay, vielen dank für die erklärungen... alles bissle complicated... muss mir mal ein paar aufgaben dazu anschauen, vielleicht hilft das... |
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06.05.2006, 17:29 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Dieses ganze Konstrukt ist leider ziemlich aus dem Zusammenhang gerissen. Ich hoffe, ihr habt erst mit der Konstruktion der Faktorgruppe begonnen. Jeder Vektorraum V ist insbesondere eine abelsche Gruppe bezüglich der Addition und jede abelsche Gruppe insbeondere ein Normalteiler. Jeder Unterraum U ist wiederum eine abelsche Gruppe. Somit hast du schon mal deine abelsche Gruppe V/U und den kanonischen Epimorphismus (s.o.). Es stellt sich jetzt nur noch die Frage, wie man V/U mit einer Vektorraumstruktur so versehen kann, dass aus dem kanonischen Epimorphismus sogar ein Vektorraumepimorphismus wird. Wenn man nun erneut die drei Isomorphiesätze bewiesen hat, dann sollte der Wunsch nach einem Allgemeinerem Konzept entstehen. Dieses ist mit der universellen Algebra gegeben. Gruß, therisen |
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06.05.2006, 17:35 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
wolltest du das sagen? sollte hier nicht eher "jede Untergruppe einer abelschen Gruppe ist ein Normalteiler in dieser Gruppe" In sich selbst ist jede Gruppe Normalteiler. Und danach dann die Erkenntnis, dass der Unterraum mit + gerade Untergruppe der abelschen Gruppe (Vektorraum,+) und somit...... PS: Was du genau mit den 3 Isomorphiesätzen willst, weiß ich nicht...... Wenn man die gezeigt hat, sollte eher erst mal der Wunsch nach einer langen Pause entstehen. edit 18:40: huch, da hatte ich wohl vorhin ausversehen einen Teil weggemacht; der erste Satz stand unvollendet da, habs korrigiert Danke für den pdf-Link, der braucht ziemlich lange |
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06.05.2006, 17:53 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja, da habe ich mir ein paar Ausdrucksschwächen geleistet. Es sollte heißen, dass in einer abelschen Gruppe jede Untergruppe ein Normalteiler ist. Und dann eben der Bezug zum Vektorraum und dem Unterraum.
Was ich meine kann man z.B. hier auf Seite 50 (im PDF Seite 66) nachlesen. Damit spart man sich den Aufwand, die Isomorphiesätze seperat erst für Gruppen, dann für Ringe und dann für Moduln zu beweisen. Aber mit der universellen Algebra habe ich mich leider noch nicht beschäftigen können, das mache ich nach dem Abitur Gruß, therisen |
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