Konstruktion eines 3-Grad-Winkels m.Z.u.L.

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SirJective Auf diesen Beitrag antworten »
Konstruktion eines 3-Grad-Winkels m.Z.u.L.
Soweit ich weiss, ist 3° der kleinste ganzzahlige Winkel, der mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. Wie geht diese Konstruktion?

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, kriege ich Winkel von 54° und 36° in einem rechtwinkligen Dreieck, dessen Hypothenuse die Länge 2 hat und eine Kathete der goldene Schnitt (1+sqrt(5))/2 ist.
Als Differenz der beiden erhalte ich 18°, von denen ich 15° abziehe.
Die 15° kriege ich durch Vierteilung von 60°, die ich aus einem gleichseitigen Dreieck erhalte.

Geht's einfacher als so?
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Geht's also nicht einfacher?

Aus dieser Konstruktion könnte man doch jetzt mit den Additionstheoremen den exakten Wert von sin(3°) ermitteln, oder?
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



nach: Barth ... , Anschauliche Geometrie 10, Ehrenwirth-Verlag, 1996, Seite 169ff.
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Den Wert selbst kenn ich. Hab ihn ohne eine Konstruktionsbeschreibung zu

ermittelt (und zwar ohne Buch :-)). Maple hat mir dabei geholfen, weigert sich aber strikt, direkt den exakten Ausdruck für sin(pi/60) zu liefern.

Ich muss noch mal schauen, welchen Ausdruck man mit Hilfe dieser Konstruktion bekommt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Na, dann machen wir's doch einfach so:

"sin x ungefähr x" für "x ungefähr 0".

Und da pi/60 nahezu 0 ist (da wird doch wohl niemand widersprechen wollen!), ist der Sinus von pi/60 gleich pi/60.

Ich denke, im Sinne der Experimentalphysik ist das hinreichend bewiesen. (Wie beweist man übrigens, daß alle ungeraden Zahlen >1 Primzahlen sind? Ganz einfach: 3 Primzahl, 5 Primzahl, 7 Primzahl, 9 Meßfehler, 11 Primzahl, ...)
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Na, dann machen wir's doch einfach so:

"sin x ungefähr x" für "x ungefähr 0".

Und da pi/60 nahezu 0 ist (da wird doch wohl niemand widersprechen wollen!), ist der Sinus von pi/60 gleich pi/60.


Das hängt aber SEHR davon ab, wie nahe "nahe" ist. Deine Näherung hat immerhin eine Genauigkeit von 3*10^-5, das sollte für viele praktische Zwecke ausreichen. Die kubische Näherung durch 1/60*(1-1/21600*pi^2)*pi ist schon auf 3*10^-9 genau.

Ganz nebenbei war ich natürlich an dem exakten Wert interessiert, der ja nun in zwei Schreibweisen dasteht.


Versuch doch mal, die Sinusfunktion so zu approximieren, dass du nur die Grundrechenarten und Vergleiche verwendest, im Durchschnitt (über das Intervall [-pi, pi]) höchstens 20 Rechenoperationen verwendest, und damit im Intervall [-pi, pi] eine Genauigkeit von 10^-12 erreichst.

Gruss,
SirJective
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