Zentraler Grenzwertsatz

04.05.2006, 17:17

Jim Pansen

Zentraler Grenzwertsatz

Ich habe ein Verständnisproblem was den Zentralen Grenzwertsatz nach Lindeberg in einer allgemeinen Version aus unserer Vorlesung betrifft.

Wir betrachten dabei ein Dreiecksschema von zeilenweise unabhängigen, quadratintegrierbaren, reellen ZV auf einem W-Raum:

n-te Zeile: $\begin{eqnarray*} X_{n1}, X_{n2},..., X_{nr_{n}}, r_{n}\in \mathbb N, \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} EX_{nk}=:a_{nk}, 0\leq Var(X_{nk})=:b_{nk}<\infty \end{eqnarray*}$

und setzen:

$\begin{eqnarray*} S_{n}:= \sum_{k=1}^{r_{n}}~(X_{nk}-a_{nk}) , s_{n}^2:=Var(S_{n})= \sum_{k=1}^{r_{n}}~b_{nk}^2>0 (!) \end{eqnarray*}$

Wenn dieses Dreicksschema die Lindeberg-Bedingung erfüllt so gilt:

(ZGWS) $\begin{eqnarray*} S_{n}/s_{n}->Z, (n-> \infty ), \end{eqnarray*}$ wobei Z standardnormalverteilt (Konvergenz nach Verteilung).

Soweit ist alles klar.
Ich verstehe nur nicht den Sinn dieses komplizierten Dreiecksschemas. verwirrt

Was bringt es einem mehr im Vergleich zur Betrachtung einer unabhängigen Folge von reellen, quadratintegrierbaren ZV mit positiven Varianzen?

Dieser Fall steckt im Dreiecksschema ja drin, aber welche Fälle könnten sonst noch auftreten? Oder warum macht man sichs so kompliziert?

05.05.2006, 02:29

Ben Sisko

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Habt ihr den Satz gerade frisch oder weißt du schon, wo er mal benutzt wird?

05.05.2006, 13:03

Jim Pansen

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Firsch nicht gerade.

Lerne gerade für meine Stochastik I und II Prüfung und habe diese Frage schon in der Vorlesung gehabt, aber gehofft dass sich das noch aufklärt. Bei den Anwendungen, Beispielen kamen natürlich nie solche allgemeinen Fälle vor, sondern nur die gängigen (iid etc.) und im Bauer steht leider auch nur die Version mit einer unabhängigen Folge (mit den geg. Vor.).

Und nun habe ich irgenwie das schlechte Gefühl, dass dann in der Prüfung so eine Frage in der Richtung "Herr Pansen, warum haben wir denn den ZGWS in so einer allgemeinen Version bewiesen und nicht einfach eine unabhängige Folge betrachtet?" kommt. geschockt

Nachdem ich gestern noch den Fred "Allgemeiner Zentraler GWS" gefunden habe (hätte vielleicht kein neues Thema aufmachen müssen, sorry), denke ich, dass diese allgemeine Version auch abhängige ZV zulässt, solange sie nicht in derselben Zeile auftauchen. Kann das sein?
Das wäre natürlich schon ein Vorteil gegenüber der Version mit einer Folge von unabhängigen ZV (+ zus. Vor.).

Falls $\begin{eqnarray*} r_{n}=n \end{eqnarray*}$ , dann würde allerdings doch sowas wie "asymptotische Unabhängigkeit" gelten (ich will sagen, dass sich das "Dreiecksschema mit wachsendem n einer Folge von unabhängigen ZV annähert", wenn man das Dreiecksschema von links nach rechts liest. OK, das ist sehr unmathematisch ausgedrückt, mir fällt aber keine bessere Formulierung ein)?

Dass die ZV nicht identisch verteilt sein müssen, wäre ja auch im Fall von einer Folge mit unabhängigen ZV enthalten.

Ich hoffe, Ihr seid nicht durch diesen langen Text abgeschreckt und könnt mir weiterhelfen. Wink

11.05.2006, 23:51

Jim Pansen

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und on top...

Zitat:

Original von Jim Pansen
...denke ich, dass diese allgemeine Version auch abhängige ZV zulässt, solange sie nicht in derselben Zeile auftauchen. Kann das sein?
Das wäre natürlich schon ein Vorteil gegenüber der Version mit einer Folge von unabhängigen ZV (+ zus. Vor.).

Kann das wenigstens jemand bestätigen/ Kennt jemand so eine Version des ZGWS?

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