logarithmus ableiten

04.05.2006, 18:50

kl.gast

logarithmus ableiten

hallo! ich versuche gerade f(x):=log_a(x) abzuleiten aber komme nicht weiter.

es gilt doch log_a(x) = lna/lnx und das kann man mit der kettenregel ableiten? aber ich komme immer durcheinander. unglücklich

04.05.2006, 18:54

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

da brauchst du keine kettenregel ln(x) ist eine konstanter faktor!

04.05.2006, 19:00

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: logarithmus ableiten

Zitat:

Original von kl.gast
es gilt doch log_a(x) = lna/lnx und das kann man mit der kettenregel ableiten? aber ich komme immer durcheinander.

Wenn ich es richtig sehe, gilt:
$\begin{eqnarray*} log_a(x) = \frac{ln(x)}{ln(a)} \end{eqnarray*}$
Und dann ist ln(a) der konstante Faktor.

04.05.2006, 19:03

kl.gast

Auf diesen Beitrag antworten »

dann ist doch v(x)=ln(a) und u(x)=1/x oder irre ich mich?

04.05.2006, 19:03

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

oh, das hatte ich garnicht bemerkt!
ja da hast du natürlich recht klarsoweit, die "regel" müsste so heissen!

\\edit: nochmal ln(a) ist ein konstanter faktor, denn kanste einfach vorziehen!

04.05.2006, 19:04

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kl.gast
dann ist doch v(x)=ln(a) und u(x)=1/x oder irre ich mich?

Nein. Deine Funktion hängt nur von x ab. Wie gesagt: ln(a) ist ein konstanter Faktor!

04.05.2006, 19:05

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt musst du lediglich wieder $\begin{eqnarray*} g(x)=\ln x \end{eqnarray*}$ ableiten

04.05.2006, 19:07

kl.gast

Auf diesen Beitrag antworten »

ich hatte mich vertippt. ich meinte v(x)=ln(x) und u(x)=1/x

04.05.2006, 19:09

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wo ist in deiner Funktion das 1/x ?

Wir sind uns doch einig, daß die so lautet:
$\begin{eqnarray*} f(x) = log_a(x) = \frac{ln(x)}{ln(a)} \end{eqnarray*}$

04.05.2006, 19:10

kl.gast

Auf diesen Beitrag antworten »

es ist doch v(x)=ln(x) und u(x)=1/x, somit v'(x)=1/x und u'(x)=-1/x^2 und jetzt muss ich die kettenregel anwenden f'(x)=u'(v(x))*v'(x) oder?

04.05.2006, 19:11

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal:
Wo ist in der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = log_a(x) = \frac{ln(x)}{ln(a)} \end{eqnarray*}$ das 1/x ? verwirrt

04.05.2006, 19:15

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

es ist wohl einfach ein bischen blöd zum sehen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{\ln x}{\ln a}=\frac{1}{\ln a}\cdot\ln x \end{eqnarray*}$
und dafür brauchste keine kettenregel...

04.05.2006, 19:15

kl.gast

Auf diesen Beitrag antworten »

f(x)=ln(a)/ln(x)

und ich dachte wenn man ln(a) außen vor lassen kann dann muss man 1/ln(x) ableiten. dann wäre ln(x) die innere und 1/x die äußere ableitung.
ich kann die kettenregel biher noch nicht sehr gut anwenden, nur auf einfach funktionen. deshalb komme ich noch durcheinander.

04.05.2006, 19:15

kl.gast

Auf diesen Beitrag antworten »

ach so. ich hatte das ln(a) und ln(x) verdreht.

04.05.2006, 19:18

kl.gast

Auf diesen Beitrag antworten »

dann hab ich doch als ableitung für f(x):=log_bx f'(x)=1/xln(a)

04.05.2006, 20:00

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

naja..

$\begin{eqnarray*} f(x)&=&\log_a(x)\\f'(x)&=&\frac{1}{x\cdot \ln(a)} \end{eqnarray*}$

also wenn du mit b a meinst stimmts, oder wenn b=a vorrausgesetzt ist..

bitte eindeutige variablen benutzen Augenzwinkern

\\edit: hatte dir { } Klammern falsch gesetzt und nicht nachkontrolliert.
Hab das korrigiert, ln(a) muss natürlich im nenner stehn.

\\edit2: rechtschreibung..

04.05.2006, 20:59

kl.gast

Auf diesen Beitrag antworten »

warum kommt das ln(a) jetzt nach oben? ich dachte es kommt unter den bruchstrich. verwirrt

04.05.2006, 21:02

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, hab die klammern für den \frac-Befehl falsch gesetzt gehabt.
muss so aussehn wies jetzt aussieht!

04.05.2006, 21:06

kl.gast

Auf diesen Beitrag antworten »

und ich dachte schon Augenzwinkern

danke

eine kleine frage noch. ich muss noch f(x):=x^(x^x) ableiten. das mach ich doch mit der kettenregel oder? dann ist v(x)=x^x und u(x)=x^x. sieht sehr seltsam aus. verwirrt

04.05.2006, 21:08

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

nein, exponentialfunktionen leitet man ab, indem man sie auf die e-funktion zurückführt...
also

$\begin{eqnarray*} e^{x\cdot \ln {x^x}} \end{eqnarray*}$

für das innere kannst du die selbe methode nochmal anwenden... danach benutzt du die kettenregel.

mfG 20

04.05.2006, 21:22

kl.gast

Auf diesen Beitrag antworten »

ach so. d.h. ich muss also die kettenregel auf $\begin{eqnarray*} e^{xln(e^{xlnx})} \end{eqnarray*}$ anwenden?

04.05.2006, 21:25

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

so ist es, allerdings brauchst du für die beiden inneren ableitungen jeweils noch die produktregel.. nicht abschrecken lassen, mach erstmal die äußerste ableitung und schreib das innere dahinter mit nem strich dran, dann verlierst du nicht die übersicht.
Beispiel:
$\begin{eqnarray*} (sin(cos(ln(x))))'=cos(cos(ln(x)))*(cos(ln(x)))' \end{eqnarray*}$
die ableitung vom sin ist cos, das innere bleibt stehen, die ableitung des inneren steht dahinter, die kannst du dann einzeln machen...
mfG 20

04.05.2006, 21:26

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

kannste machen, oder du leitest erstmal $\begin{eqnarray*} f(x):=x^x=e^{x\cdot\ln x} \end{eqnarray*}$ einzeln ab

edit
bissle spät Augenzwinkern

04.05.2006, 23:02

kl.gast

Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab jetzt $\begin{eqnarray*} f(x):=x^x=e^{x\cdot\ln x} \end{eqnarray*}$ abgeleitet und habe bekommen
$\begin{eqnarray*} f(x)'=e^{xlnx}*ln(x)+1 \end{eqnarray*}$ aber ich komm nich weiter. bin schon total durcheinander

04.05.2006, 23:06

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

da fehlen klammern... sonst ists richtig. das ist ja jetzt die innerste ableitung, fang doch mal außen an, dann brauchst du gleich diese ableitung.
mfg 20

05.05.2006, 00:02

kl.gast

Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} e^{xln(e^{xlnx})} \end{eqnarray*}$ ableite verwirrt

dann hab ich $\begin{eqnarray*} v(x)=xlne^{xlnx} \end{eqnarray*}$ und u(x)=e^x und dann kettenregel anwenden oder?

05.05.2006, 08:13

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstmal muß man die Funktion richtig umformen, bevor man sich aufs Ableiten stürzt.
@20_Cent: ich glaube, deine Umformung ist falsch, oder?

Wenn es um f(x):=x^(x^x) geht, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{(x^x)} = e^{ln(x^{(x^x)})} = e^{x^x \cdot ln(x)} = e^{ln(x) \cdot e^{x \cdot ln(x)}} \end{eqnarray*}$

06.05.2006, 12:04

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm... stimmt, ich hatte (x^x)^x gedacht, aber das ist ja gleich x^(x^2)...
also klarsoweits umformung benutzen Augenzwinkern

mfG 20

07.05.2006, 14:51

kl.gast

Auf diesen Beitrag antworten »

bin jetzt wieder bei dieser aufgabe. zweiter anlauf Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{ln(x) \cdot e^{x \cdot ln(x)}} \end{eqnarray*}$

jetzt hab ich erstmal die kettenregel genommen mit $\begin{eqnarray*} v(x)=e^x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u(x)=ln(x)e^{xln(x)} \end{eqnarray*}$ . jetzt die kettenregel anwenden, dann bekommt man
$\begin{eqnarray*} f'(x)=u'(e^x)*e^x \end{eqnarray*}$ .

und jetzt muss man u'(x) rausfinden. das macht man doch mit der produktregel?
da $\begin{eqnarray*} u(x)=ln(x)e^{xln(x)} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} g(x)=ln(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(x)=e^{xlnx} \end{eqnarray*}$
und damit ist
$\begin{eqnarray*} u'(x)=g'(x)h(x)+h'(x)g(x)=x^{-1}*e^{xlnx}+x^x(ln(x)+1)*ln(x) \end{eqnarray*}$

ist es so wies da steht bis dahin richtig? oder hab ich wieder fehler gemacht? verwirrt

07.05.2006, 15:02

Pr0

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} x^{x^x} \end{eqnarray*}$ ist aber ein wenig fragwürdig, da die Stetigkeit angezweifelt werden darf.

07.05.2006, 15:17

kl.gast

Auf diesen Beitrag antworten »

aber wir müssen das ableiten.

und ich hab mal wieder was durcheinander gebracht. hab ich eben gemerkt. unglücklich

07.05.2006, 15:48

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Pr0
Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} x^{x^x} \end{eqnarray*}$ ist aber ein wenig fragwürdig, da die Stetigkeit angezweifelt werden darf.

Ah, ja.

Und wieso das?
Wie ich weiter oben schon ausführte, läßt sich die Funktion aus e- und ln-Funktion zusammenbauen. Und die sind stetig auf ihren Definitionsbereichen.

Neue Frage »

Antworten »

logarithmus ableiten

Verwandte Themen