Kardinalität von Gruppen

04.05.2006, 21:48	DonMikone	Auf diesen Beitrag antworten »
Kardinalität von Gruppen Hallo zusammen, hier mein Problem: Ich habe ein Erzeugendensystem $\begin{eqnarray} G := <a = (1,2,3,4,5,6,7),b = (2,7)(3,6)(4,5)> \leq S_7 \end{eqnarray}$ von Zykeln. Meine Frage ist, wie kann ich die Mächtigkeit der Menge ermitteln, ohne einen Baum zu malen, etc.? Wir brauchen das für eine aktuelle Aufgabe in "Diskrete Systeme". Uns wurde zwar ein Tipp gegeben, jedoch stehe ich leider auf dem Schlauch und mir leuchtet die Relevanz des Tipps bezüglich obiger Aufgabenstellung noch nicht so recht ein. VIelleicht kann mir ja einer von euch auf die Sprünge helfen. Der Tipp lautet: Anstatt Bäume zu zeichen sollen wir $\begin{eqnarray} ^b a = a^{-1} \end{eqnarray}$ nachprüfen, bzw. ausnutzen (gemeint ist hier die Konjugationsklasse ( $\begin{eqnarray} b \cdot a \cdot b^{-1} \end{eqnarray}$ ) von a bezüglich b). Vielen Dank. Gruß Mike Edit: Habe gerade gesehen, dass $\begin{eqnarray} b \cdot a \cdot b^{-1} = a^{-1} = (7,6,5,4,3,2,1) \end{eqnarray}$ ist. Bringt mich aber irgendwie auch nicht weiter...
05.05.2006, 08:18	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ hat die Ordnung $\begin{eqnarray} 7 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ hat die Ordnung $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ . Daher kannst du deine Bedingung $\begin{eqnarray} bab^{-1} = a^{-1} \end{eqnarray}$ sogar so schreiben: $\begin{eqnarray} \text{(1)} \ \ \ bab = a^{-1} \end{eqnarray}$ Weiter gilt: $\begin{eqnarray} \text{(2)} \ \ \ \left( bab \right)^k = b a^k b \ \ \mbox{für alle} \ k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} k=0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} k=1 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \text{(2)} \end{eqnarray}$ nämlich trivial, für größere $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ folgt das, weil wegen $\begin{eqnarray} b^2 = e \end{eqnarray}$ die inneren Glieder wegfallen ( $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ sei das neutrale Gruppenelement), und für negative $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ schließlich, indem man in der zu beweisenden Beziehung zum Inversen übergeht. Und jetzt werden $\begin{eqnarray} \text{(1),(2)} \end{eqnarray}$ kombiniert: $\begin{eqnarray} a^k b = bb a^k b = b \left( b a^k b \right) = b \left( bab \right)^k = b \left( a^{-1} \right)^k = b a^{-k} \end{eqnarray}$ Damit kann aber jedes Element von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ in der Form $\begin{eqnarray} a^i b^j \ \ \mbox{mit} \ i,j \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ geschrieben werden. Und jetzt mußt du nur noch herausfinden, wie viele verschiedene Elemente das in Wirklichkeit sind. Das ist aber eine simple kombinatorische Überlegung.

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