card(N) = card(Z)

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Cathy Auf diesen Beitrag antworten »
card(N) = card(Z)
Ich habe gelesen, dass genauso viele Elemente wie besitzt. Aber wie kann das sein?
. Da der Schnitt der drei mengen leer ist gilt doch



Wie also können beide Mengen gleichmächtig sein?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst dich von deiner klassischen Vorstellung von unendlich lösen: Zwei Mengen heißen gleichmächtig, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt. Je länger du darüber nachdenkst, desto "logischer" erscheint dir das ganze. Lies dir mal das durch: http://de.wikipedia.org/wiki/Hilberts_Hotel

In dem vorliegenden Fall ist es ganz einfach, eine Bijektion zu finden, probiere es einmal.

Gruß, therisen
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Gleichmächtig bedeutet nicht, dass es gleich viele Elemente hat! Stelle Dir nur mal eine Gerade und einen Strahl vor. Beide sind unendlich lang. Dennoch ist es offensichtlich, dass die Gerade länger ist... (Dies nur als Verdeutlichung...)

Auch in zwei nichtgleichgrossen Flächen hat es unendlich viele Punkte. Dennoch kann es in einer Fläche mehr haben...
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frooke
Beide sind unendlich lang. Dennoch ist es offensichtlich, dass die Gerade länger ist... (Dies nur als Verdeutlichung...)

Tjaja ... Vorstellungen im Unendlichen. Hammer
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollte auch eher intuitiv sein... (wegen der Formulierung oben) smile

EDIT: ...ausserdem ist der Begriff der Mächtigkeit trotzdem nicht im herkömmlichen Sinn zu verstehen.

Es ist ähnlich wie bei



und



Beide gehen gegen unendlich smile
Schumi987 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frooke
Gleichmächtig bedeutet nicht, dass es gleich viele Elemente hat!

Ich denke doch.

Bei endlichen Mengen ist das sofort klar. Und bei unendlichen Mengen wird das durch die Bijektion klar. Man kann jedes Element aus der einen Mengen mit einem Element aus der anderen Menge identifizieren.

Nur weil es eine Injektion von IN nach Z gibt die nicht surjektiv ist bedeutet das nicht, dass Z mehr Elemente hat. (Es gibt auch Injektionen von Z nach IN die nicht surjektiv sind)

Bei endlichen Mengen gilt das eine echte Teilmenge immer eine kleinere Mächtigkeit hat als die ursprüngliche Menge. Bei unendlichen Mengen gitl das nicht, und das ist in der Tat etwas befremdlich.
 
 
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Schumi987
Bei endlichen Mengen ist das sofort klar. Und bei unendlichen Mengen wird das durch die Bijektion klar. Man kann jedes Element aus der einen Mengen mit einem Element aus der anderen Menge identifizieren.


Klar, in der Unendlichkeit wird es eh ein bisschen speziell. Und Deine Begründung mag richtig sein, aber unsere intuitive Vorstellung zeigt uns doch, dass beim Vergleich der rationalen und natürlichen Zahlen, die natürlichen viel schneller in höher Gebiete vorstossen, deshalb finde ich es heikel, wenn man behauptet, es sind gleichviele (wie rationale). Die Unendlichkeit - so finde ich - kann so nicht verrechnet werden. (Deshalb ist sie auch nicht eine Zahl, die den normalen «Gesetzen» gehorcht). Und natürlich kann bei unendlichen grössen jedes Element einer grösse mit einem der anderen in Verbindung gebracht werden. Aber ob das zwangsläufig bedeutet, dass es effektiv gleichviele sind (diese Annahme führt im Unendlichen zu seltsamen Ergebnissen)... (auch wenn sie formal richtig sind).
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber ob das zwangsläufig bedeutet, dass es effektiv gleichviele sind

Ja, doch tut es.
"... ist gleichmächtig wie...." ist einfach nur ein kurzer Ausdruck für "... hat gleich viele Elemente wie...".
"Gleich viele Elemente haben" wird halt im unendlichen leider nicht mehr durch Abzählen erledigt werden können, genau deswegen die Definition über die Bijektion, die ja auch völlig anschaulich aufzeigt, dass hier wirklich gleich viele Elemente vorliegen.

Also ich stimme Schumi in der Hinsicht völlig zu.
4c1d Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frooke
Die Unendlichkeit - so finde ich - kann so nicht verrechnet werden. (Deshalb ist sie auch nicht eine Zahl, die den normalen «Gesetzen» gehorcht)..

Was, hältst du etwa nichts von dem Paradies, das Cantor uns geschaffen hat? smile
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, ist schon alles ok. Ich denke, dass ich mich falsch ausgedrückt habe... Eigentlich meinte ich das von den Limiten: Es gibt verschiedene Unendlichkeiten (hoffe, ihr wisst, was ich meine!).

EDIT: Ausserdem

JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Es gibt verschiedene Unendlichkeiten (hoffe, ihr wisst, was ich meine!)

richtig, darum folgt aus card(X)=unendlich und card(Y)=unendlich ja auch nicht X und Y sind gleichmächtig.
Sondern das folgt aus der Existenz der Bijektion....
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Und sorry, dass ich da etwas vom Thema abgekommen bin und so «pseudophilosophiert» habe... Aber dabei lerne ich immer viel (und das kann ich brauchen smile ).
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, aber ich muss das nochmals aufgreifen... (bin vermutlich nur begrenzt lernfähig).

Eine Menge A heisst ja bekanntlich «gleichmächtig» zu einer Menge B, wenn es eine Bijektion gibt. Für endliche Mengen bedeutet dies, dass jedem Element aus A ein Element aus B zugeordnet werden kann (und umgekehrt) => A und B haben also gleichviele Elemente. (Bis dahin sollten alle Meinungen noch korrelieren Augenzwinkern )...

Ich denke aber, dass der Begriff der «Mächtigkeit» gerade deswegen einfgeführt wurde, weil bei unendlichen Mengen eben nicht mehr die ANZAHL der Elemente verglichen werden kann. Gleichmächtig bedeutet, dass (wie oben) jedem Element von A eines von B zugeordnet werden kann. Also haben die beiden Mengen scheinbar die gleiche Anzahl Elemente. Gerade bei unendlichen abzählbaren Mengen kann man aber auch jedem Element aus A zwei, drei, vier oder n Elemente aus B zuordnen, oder umgekehrt. Das würde doch der Gleichheit der Anzahl wiedersprechen (nicht der Gleichmächtigkeit)... Deshalb denke ich, dass man gleiche Mächtigkeit nicht im herkömmlichen Sinne mit gleicher Anzahl von Elementen (wie bei endlichen Mengen) gleichsetzen darf.

Wäre schön, wenn Da jemand dazu Stellung nehmen könnte Hammer .

@Jochen: Ich weiss, dass ich Dein zweitletztes Posting hier somit wieder hinterfrage, denke nicht, dass ich es einfach ignoriert habe, aber ich verstehe es halt nicht... Wäre schön, wenn Du das noch etwas ausführen könntest (auch hinsichtlich des jetztigen Posts Gott )

EDIT: Gegebenenfalls muss ich drum auch noch meine erste Antwort hier editieren, weil das riesiger Quatsch ist (vielleicht).
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Wie schon gesagt sehe ich "A hat gleichviele Elemente wie B" und "A und B sind gleichmächtig" einfach als gleiche Aussagen an (die zweite klingt vielleicht etwas hochtrabender).
Das das nicht so ist, dafür musst du mir schon eine saubere Definition von "hat gleich viele Elemente" angeben.
Wenn du sagst, "hat gleich viele Elemente" ist die Gleichmächtigkeitsrelation auf ENDLICHE Mengen beschränkt, dann hast du mit dieser Definition recht, dann "haben zwei unendliche Mengen eben nicht gleichviele Elemente".
Allerdings stirbt dann sofort auch "A hat mehr/weniger Elemente als B" und andere Aussagen.


Also zusammengefasst:
Für mich sind die beiden Ausdrücke völlig gleichwertig, wenn du mir eine sinnvolle Definition von "A ist gleichmächtig B" und "A und B haben gleichviele Elemente" nennen kannst, für die das NICHT so ist, dann werde ich diese Definition natürlich akzeptieren. smile

Hier noch mal wie ich das defineiren würde (A,B Mengen):







das letzte in Worten: "A und B sind gleichmächtig" oder umgangssprachlich: "A und B haben gleich viele Elemente"

DANACH ...... naja.

Gruß, Jochen



PS: tatsächlich muss man hier noch ein beweisen, dass die letzte Äquivalenz auch gilt
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen lieben Dank, dass Du Dir die Zeit nimmst, einem begriffsstutzigen Schweizer zu helfen Freude ! Ich denke, dass ich das soweit (fast) verstanden habe, aber ist es denn völlig unproblematisch, wenn man jedem Element aus A auch 10, 20 oder 400 Elemente von B zuordnen kann (in Bezug auf die Mächtigkeit)?

EDIT: Oder konkreter gefragt: Inwiefern ist die Schlussfolgerung, dass wenn jedem Element aus A ZWEI Elemente von B zugeordnet werden, B «doppelt» so mächtig wie A ist, falsch?
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Frooke
EDIT: Oder konkreter gefragt: Inwiefern ist die Schlussfolgerung, dass wenn jedem Element aus A ZWEI Elemente von B zugeordnet werden, B «doppelt» so mächtig wie A ist, falsch?

Nur als kleines Experiment: betrachte mal die Teilmenge aller Geraden natürlichen Zahlen 2N.
Anschaulich sind das auch "nur halb so viele" wie alle natürlichen Zahlen.

Nun finden wir Injektionen, so dass nach deiner Meinung "Z doppelt so viele Elemente wie N hat" und genauso "N doppelt so viele wie 2N", gleichzeitig finden wir aber eine Bijektion zwischen 2N und Z.
Damit haben sie gleichviele Elemente und am Ende hat N sowohl doppelt so viele Elemente wie Z als auch halb so viele. (*)

Hmmmm, das riecht enorm danach, dass solch Quantitative Vergleiche "doppelt so viel" nicht so viel Sinn bei unendlichen Mengen machen.

Noch mal, um das mit diesen quantitiven Aussagen zu widerlegen:
Sind zwei unendliche Mengen gleichmächtig, dann gibt es beliebige (nicht surjektive!) Injektionen in beide Richtungen, dann sind "anschaulich" beide Mengen weniger mächtig als die andere, genauso brauche ich von einer Menge nur die Hälfte/ein Drittel/ein Siebzehntel der Elemente um Bijektionen zu finden.
Damit wäre Z auch 17mal so mächtig wie N.

Ich hoffe, du weißt, was ich damit sagen will, "doppelt so mächtig" macht bei unendlichen Mengen keinen Sinn.
Oder noch anders gesagt:
A doppelt so mächtig wie B :<=> es existiert Abbildung B nach A, wobei jedes a aus A genau 2 Urbilder hat
das wäre eine Definition, aber wie sinnig die ist und was sie aussagt siehe oben







(*) hiermit spielt übrigens auch die Aussage mit dem letzten zu beweisenden Teil von oben
folgt aus |A|<=|B| und aus |B|<=|A| schon, dass |A|=|B| ist?
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, jetzt hab' ich's verstanden! Vielen Dank!

Zitat:
Original von LOED
(*) hiermit spielt übrigens auch die Aussage mit dem letzten zu beweisenden Teil von oben
folgt aus |A|<=|B| und aus |B|<=|A| schon, dass |A|=|B| ist?


Ohne jetzt einen Beweis führen zu können, aber ich denke ja.
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