Satz von Bohr-Mollerup

05.05.2006, 16:04

Frooke

Satz von Bohr-Mollerup

Hallo!

Ich habe eine Frage zum Satz von Bohr-Mollerup:

Dieser besagt (nach Wikipedia):
Eine Funktion $\begin{eqnarray*} \operatorname G: \mathbb R^+_0 \to\mathbb R^+_0 \end{eqnarray*}$ ist auf einem Bereich gleich der Gammafunktion, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

$\begin{eqnarray*} \text{1: }\operatorname G(1)=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{2: }\operatorname G(x+1)=x\cdot \operatorname G(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{3: }\operatorname G \end{eqnarray*}$ ist logarithmisch konvex.

Ich verstehe nun die Notwendigkeit von Punkt 3 nicht. 1 & 2 sind für meine Begriffe schon eindeutig. Es gelingt mir auch nicht, eine Funktion zu finden, die Punkt 1 & 2 genügt, nicht aber Punkt 3.

05.05.2006, 16:26

Abakus

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RE: Satz von Bohr-Mollerup
Ich denke, wir könnten ohne (3) zB $\begin{eqnarray*} G(x) = 0~ \mbox{für}~x \in~ ]0, 1[ \end{eqnarray*}$ definieren.

Vermutlich sind hier sogar beliebige Definitionen möglich, oder scheitert das irgendwie ?

Grüße Abakus smile

05.05.2006, 16:30

Frooke

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RE: Satz von Bohr-Mollerup

Zitat:

Original von Abakus
Ich denke, wir könnten ohne (3) zB $\begin{eqnarray*} G(x) = 0~ \mbox{für}~x \in~ ]0, 1[ \end{eqnarray*}$ definieren.

Denkst Du nun an eine stückweise konstante Funktion? Denn Deine Definition erfüllt Punkt 1 doch auch nicht... oder verstehe ich Dich falsch? Jedenfalls schon mal danke für die Antwort.

EDIT: Und wenn ich Dich falsch verstanden haben sollte. Warum würde denn allgemein Konvexität nicht ausreichen?

05.05.2006, 16:42

Abakus

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RE: Satz von Bohr-Mollerup
$\begin{eqnarray*} G(1) = 1 \end{eqnarray*}$ gilt unverändert. Dann wäre G die Fakultät für die natürlichen Zahlen (um 1 verschoben, ok), und die Nullfunktion sonst.

Ggf. könnten wir es ja auch modifizieren, so dass G stetig wird: $\begin{eqnarray*} G(x) = x^n~ \mbox{für}~x \in~ ]0, 1[ \end{eqnarray*}$ . Das wären dann weitere Versionen ohne (3).

Jedenfalls lassen sich ohne (3) die Werte im offenen Intervall ]0, 1[ beliebig wählen.

Grüße Abakus smile

EDIT: Rechtschreibung, Text

05.05.2006, 16:49

Frooke

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Danke, das habe ich jetzt verstanden. Aber warum benötigt es grad die logarithmische Konvexität, um die Eindeutigkeit zu erreichen (also wie kommt man da drauf?)?

Danke, Abakus!

05.05.2006, 17:09

Abakus

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Also nochmal genauer: mein Versuch für G (ohne (3)) wird vermutlich nur auf ]0, 1] stetig sein und bei 1 rechtsseitig einen Sprung aufweisen usw. Es wäre zu untersuchen, was sich da sonst alles für Funktionen definieren lassen, die (1) und (2) erfüllen.

Mit (3) folgt jedenfalls, dass G im Intervall ]0, 1[ eindeutig bestimmt ist. Möglich, dass es auch noch andere Eigenschaften gibt, die das gewährleisten; die müssten dann aber äquivalent zur logarithmischen Konvexität sein (denn mehr als G eindeutig festlegen, geht ja nicht).

Da drauf kommen tut man wohl dadurch, dass man eine Menge mit diesen Funktionalgleichungen rumspielt und schaut, was da alles passieren kann.

Grüße Abakus smile

PS: ein interessanter Satz finde ich (Bohr-Mollerup)

05.05.2006, 18:26

Frooke

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Zitat:

Original von Abakus
PS: ein interessanter Satz finde ich (Bohr-Mollerup)

Auf jeden Fall, ja smile

! Und danke für Deine Mühe!

Zitat:

Original von Abakus
Da drauf kommen tut man wohl dadurch, dass man eine Menge mit diesen Funktionalgleichungen rumspielt und schaut, was da alles passieren kann.

...und das ist wohl für einen durchschnitts Nochnichtmathestudenten wie mich noch etwas zu schwierig. unglücklich

. Danke trotzdem Freude

05.05.2006, 19:14

Mathespezialschüler

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Naja, wahrscheinlich kann man sich das so ganz gut vorstellen: Man definiert sich die Gammafunktion (über eine der anderen Möglichkeiten) und stellt dann fest, dass sie diese 3 Dinge erfüllt.
Und dann stellt man sich einfach die Frage, ob auch die Umkehrung gilt, ob also die Gammafunktion die einzige Funktion mit den drei Eigenschaften ist. So, von hinten aufgerollt, ist das für mich zumindest einigermaßen verständlich.
Außerdem würde ich sagen, die Frage nach dem "Wie kommt man darauf?" ist bei fast allen Dingen in der Mathematik mehr oder weniger sinnlos. Mathematik hat sich über Jahrhunderte entwickelt und dann hat man so etwas rausgefunden. Da steckt ja irgendetwas dahinter, also eine Entwicklung. Nur kommt es einem vielleicht anders vor, wenn man diese Riesenentwicklung innerhalb weniger Semester eines Mathematikstudiums gelehrt bekommt.

Gruß MSS

05.05.2006, 22:07

Frooke

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
So, von hinten aufgerollt, ist das für mich zumindest einigermaßen verständlich.

Ja, stimmt.

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Außerdem würde ich sagen, die Frage nach dem "Wie kommt man darauf?" ist bei fast allen Dingen in der Mathematik mehr oder weniger sinnlos. Mathematik hat sich über Jahrhunderte entwickelt und dann hat man so etwas rausgefunden. Da steckt ja irgendetwas dahinter, also eine Entwicklung. Nur kommt es einem vielleicht anders vor, wenn man diese Riesenentwicklung innerhalb weniger Semester eines Mathematikstudiums gelehrt bekommt.

Das ist mir schon klar. Ich denke vielmehr an so einen typischen Weg. Oftmals gibt es ja so Paradebeispiele bei gewissen Beweisen, die immer wieder gezeigt werden, obwohl es auch andere geben würde. Und ich frage mich, ob es hier auch grad so einen Beweis gibt... Die Rückrichtung ist ja oftmals nicht so ohne Weiteres zu zeigen...

EDIT: Dennoch eine Frage: Findet jemand eine Funktion, die den Eigenschaften 1 und 2 genügt, nicht aber 3 und stetig ist?

06.05.2006, 13:21

Mathespezialschüler

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Da:

Zitat:

Original von Abakus
Ggf. könnten wir es ja auch modifizieren, so dass G stetig wird: $\begin{eqnarray*} G(x) = x^n~ \mbox{für}~x \in~ ]0, 1[ \end{eqnarray*}$ . Das wären dann weitere Versionen ohne (3).

Gruß MSS

06.05.2006, 14:36

Frooke

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O...

06.05.2006, 21:01

Abakus

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Zitat:

Original von Frooke
EDIT: Dennoch eine Frage: Findet jemand eine Funktion, die den Eigenschaften 1 und 2 genügt, nicht aber 3 und stetig ist?

Der Versuch $\begin{eqnarray*} G(x) = x^n,~x \in~ ]0, 1] \end{eqnarray*}$ führt erstmal nur zur Stetigkeit auf ]0,1], bei 1 liegt dann eine Sprungstelle vor (s.o.). Ich habe das oben nicht exakt formuliert.

Wegen $\begin{eqnarray*} \Gamma(1 + \epsilon) = \epsilon \cdot \Gamma(\epsilon) \end{eqnarray*}$ erzwingt die Forderung der Stetigkeit in 1 eine Polstelle bei 0.

Ein weiterer Versuch ist: $\begin{eqnarray*} G(x) = \frac{1}{x},~x \in~ ]0, 1] \end{eqnarray*}$ . In diesem Fall ist G zwischen 1 und 2 konstant gleich 1, zwischen 2 und 3 geht es dann linear steigend weiter, usw.

Grüße Abakus smile

07.05.2006, 01:36

Frooke

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Ja super! Vielen Dank für Deine Hilfe!

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