Punktweise und glm. Konvergenz

05.05.2006, 20:23	InfoStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Punktweise und glm. Konvergenz N'abend, diesmal hab ich folgene Aufgabe: Für $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ untersuche man die Reihe $\begin{eqnarray} f(x) = \sum_{k=0}^\infty~e^{-k^2x} \end{eqnarray}$ auf punktweise und glm Konvergenz. (Wo ist f diffbar?) So, die Def. von glm. bzw. Punktweise Konvergenz (und die anschauliche Bedeutung) ist klar, ich habe hier hauptsächlich ein Problem mit der Reihe. Also betrachtet man die Folge der Partialsumme, so muss ja für punktweise konvergenz gelten: $\begin{eqnarray} f_n(x) = \sum_{k=0}^n~e^{-k^2x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall \varepsilon > 0 \ \exists n_o \in \mathbb{N} \ \forall x \in \mathbb{R} \ \forall n \ge n_0 : \left\|f_n(x)-f(x)\right\| < \varepsilon \end{eqnarray}$ Also ich muss zu jedem $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ ein n finden, das sowohl von $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ als auch von x abhängen kann, so dass die differenz beider Funktionen kleiner $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ (also minimal) wird. So, mein Problem besteht jetzt schon die Grentzfunktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ zu bestimmen, wir hatten bis jetzt nur einfach Beispiele ohne Reihen...
05.05.2006, 20:33	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left\|f(x)-f_n(x)\right\|=\left\|\sum_{k=n+1}^\infty e^{-k^2x}\right\| \end{eqnarray}$
05.05.2006, 21:09	InfoStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
kein Kommentar Danke, eigentlich ja offensichtlich.
05.05.2006, 22:04	Frooke	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben
06.05.2006, 12:18	InfoStudent	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch eine letzte Frage, die Funktion ist nicht glm. Konvergent oder? EDIT: Also auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ nicht glm. konv....
06.05.2006, 13:27	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht nicht um eine Funktion, sondern um eine Funktionenfolge bzw. -reihe!! Für $\begin{eqnarray} x\leq 0 \end{eqnarray}$ ist diese ja nicht einmal punktweise konvergent. Aber du hast Recht, auf $\begin{eqnarray} (0,\infty) \end{eqnarray}$ ist sie nicht gleichmäßig konvergent, dort konvergiert sie allerdings punktweise. Gruß MSS
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