Potenzreihe und Konvergenzradius

05.05.2006, 22:09

Smarti

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Potenzreihe und Konvergenzradius

Hoi,

ich soll beweisen das die Potenzreihe $\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{n=0}^\infty ~n^k x^n \end{eqnarray*}$ den Konvergenzradius 1 hat, und zwar mit dem Quotientenkriterium.

Setz ich halt ein, komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{(x+1)^n}{x^n} \end{eqnarray*}$ ...wo geht das denn gegen 1? *g*

Danke, Smartie

05.05.2006, 22:22

Dual Space

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RE: Potenzreihe und Konvergenzradius

Zitat:

Original von Smarti
Setz ich halt ein, komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{(x+1)^n}{x^n} \end{eqnarray*}$ ...wo geht das denn gegen 1? *g*

Und nun? Brauchst du jetzt Hilfe oder wolltest du uns das nur mal mitteilen? verwirrt

verwirrt

05.05.2006, 22:24

Smarti

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Soweit ich weiss ist der Konvergenzradius eben dem Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac{(x+1)^n}{x^n} \end{eqnarray*}$

Ich weiss aber nicht wie ich da weitermachen soll. Ausserdem bin ich mir grad gar nicht sicher, ob alleine der Schritt richtig war

05.05.2006, 22:28

Dual Space

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Zitat:

Original von Smarti
Ausserdem bin ich mir grad gar nicht sicher, ob alleine der Schritt richtig war

Dann poste doch mal deine Schritte. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.05.2006, 22:31

Smarti

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jamei ....Quotientenkriterium...

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{a_{n+1}}{a} \mid =\mid \frac{(x+1)^n}{x^n} \mid \end{eqnarray*}$

..n^k kürzt sich ja raus ... aber wie mach ich da nun weiter, denn so kann ich ja keine Konvergenz beweisen...ich muss das doch irgendwie umformen

05.05.2006, 22:39

Dual Space

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Mmmm ... tjoa ich komme aber auf das hier:

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\frac{(n+1)^k}{n^k}\right|=\left|\frac{(n+1)^k}{n^k}\right| \end{eqnarray*}$

Wenn dabei $\begin{eqnarray*} a_n=n^k \end{eqnarray*}$ ist.

Edit: Fehler berichtigt!

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05.05.2006, 22:46

Smarti

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Siehste ich hab es nach x gemacht (weil f(x)) und du nach n smile

smile

Ich denke mal, da du mehr Ahnung hast als ich, stimmt deins...kann ich auch nachvollziehen. Problem ist nur: Auch da stoße ich dann auf Grenzen. Wie forme ich das denn um? Irgendwie muss ich ja auf eine FOrm kommen, wo ich den Grenzwert ablesen kann.

05.05.2006, 22:47

Dual Space

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Zitat:

Original von Smarti
Ich denke mal, da du mehr Ahnung hast als ich

Naja ... aber wie du siehst, musste ich oben auch einen Fehler berichtigen. Sorry dafür.

Es geht also im Prinzip, um folgenden Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n} \end{eqnarray*}$

Und den kennst du bestimmt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.05.2006, 22:52

Smarti

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Ja der ist natürlich 1 ... aber dann wäre die Aufgabe ja schon vorbei und war extrem einfach ...das hat mich extrem gewundert und ich dachte, es kann nicht sein =) Ist da auch nirgends ein Denkfehler?

Wer sagt mir überhaupt das $\begin{eqnarray*} a_n=n^k \end{eqnarray*}$ ist?

05.05.2006, 22:56

Dual Space

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Zitat:

Original von Smarti
Wer sagt mir überhaupt das $\begin{eqnarray*} a_n=n^k \end{eqnarray*}$ ist?

Gute Frage (habe schon die ganze Zeit drauf gewartet). Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nun, es handelt sich um eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ . Klick mal auf den Link und falls dann noch fragen sind ... her damit! smile

smile

05.05.2006, 23:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von Dual Space
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \end{eqnarray*}$

Wobei man meines Wissens für den Konvergenzradius den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right| \end{eqnarray*}$ bestimmen muß.

05.05.2006, 23:02

Dual Space

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Dual Space
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| \end{eqnarray*}$

Wobei man meines Wissens für den Konvergenzradius den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right| \end{eqnarray*}$ bestimmen muß.

Freude

Da hast du mich voll erwischt. Nur gut, dass es in diesem Falle ganz egal war. Big Laugh

Big Laugh

05.05.2006, 23:07

Smarti

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Ja das hätte ich grad noch gefragt ... aber ich soll es ja mit dem Quotientenkriterium zeigen...ich denke ich muss da vorher noch irgendein Zusammenhang zeigen, oder?

05.05.2006, 23:16

bil

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Zitat:

Original von Smarti
Ja das hätte ich grad noch gefragt ... aber ich soll es ja mit dem Quotientenkriterium zeigen...ich denke ich muss da vorher noch irgendein Zusammenhang zeigen, oder?

ich vermute eher, dass du mit dem quotientenkriterium erstmal zeigen sollst das die reihe überhaupt konvergiert. und dann kannst du den konvergenzradius bestimmen...

gruss bil

05.05.2006, 23:17

Smarti

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Ich soll das Quotientenkriterium benutzen um zu beweisen, dass f(x) den KOnvergenzradius 1 hat.

05.05.2006, 23:21

bil

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ich hab gerade auch bemerkt, dass man in diesem fall die konvergenz der reihe garnicht mit dem quotientenkriterium zeigen kann.
wie man den radius mit dem quotientenkriterium bestimmt weiss ich auch nicht, sorry...
ich kenne auch nur die methode von dual space und klarsoweit...

gruss bil

05.05.2006, 23:31

klarsoweit

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RE: Potenzreihe und Konvergenzradius
Also nochmal zum Quotientenkriterium. Für die Konvergenz einer Reihe ist der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| \end{eqnarray*}$ zu untersuchen. Rein formal wäre in diesem Fall das $\begin{eqnarray*} a_n = n^k \cdot x^n \end{eqnarray*}$ . Der Grenzwert ist |x|. Und laut Quotientenkriterium muß der Grenzwert <= q < 1 sein. Daraus folgt, welche x das erfüllen.

05.05.2006, 23:33

Smarti

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Ja aber wie kann ich damit irgendwas mit dem Konvergenzradius zeigen? Ich soll damit ja nciht die Konvergenz zeigen

05.05.2006, 23:35

klarsoweit

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Aud |x| < 1 ergibt sich der Konvergenzradius. Mit etwas Überlegung kommt man dahin, daß bei einer Potenzreihe, wie du sie hast, für den Konvergenzradius der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right| \end{eqnarray*}$ bestimmt werden muß.

05.05.2006, 23:43

Smarti

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Hm, ich verszeh nun nicht was x damit zu tun hat. Aber ich bin sowieso momentan extrem verwirrt Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.05.2006, 13:00

klarsoweit

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RE: Potenzreihe und Konvergenzradius
Schau dir nochmal das Quotientenkriterium an:
Eine Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert dann, wenn es ein q < 1 gibt mit $\begin{eqnarray*} \mid \frac{a_{n+1}}{a_n} \mid <= q \end{eqnarray*}$ für fast alle n aus N.
Soweit klar?

06.05.2006, 13:37

Smarti

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richtig, genau das ist das Quotientenkritierium. Ich hab damit auch gestern schon rumüberlegt mit deinem |x|<1 bin aber zu keinem Ergebnis gekommen

06.05.2006, 14:06

klarsoweit

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Ok. Wenn du jetzt $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~a_n \end{eqnarray*}$ mit deiner Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sum_{n=0}^\infty ~n^k x^n \end{eqnarray*}$
vergleichst, was ist dann das a_n? In diesem fall ist im Prinzip das a_n von x abhängig, das ändert aber nichts am prinzipiellen Verfahren.

06.05.2006, 14:09

Smarti

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Ja wenn ich jetzt Plump das Quotientenkriterium einsetze ist in meinen Augen $\begin{eqnarray*} a_n=n^kx^n \end{eqnarray*}$

06.05.2006, 14:10

klarsoweit

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Genau!

Freude

Und jetzt wende das Quotientenkriterium an.

PS: muß jetzt bei dem schönen Wetter in den Garten. Schaue heute abend nochmal rein.

06.05.2006, 14:18

Smarti

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$\begin{eqnarray*} \mid\frac{a_{n+1}}{a_n} \mid = \mid \frac{(n+1)^kx^{n+1}}{n^kx^n} \mid= \mid \frac{(n+1)^kx}{n^k} \mid \end{eqnarray*}$

Wenn |x| < 1 scheint der Term < q zu werden, nur was hiflt es mir? Hat ja erstmal doch gar nichts mit dem Konvergenzradius zu tun, oder?

06.05.2006, 16:53

klarsoweit

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Im Gegenteil! |x| < 1 sagt doch aus, für welche x die Reihe (man nennt sie auch Potenzreihe, weil über die Potenzen von x summiert wird) konvergiert. 1 ist demzufolge der Konvergenzradius. Man spricht deswegen von Radius, weil die Potenzreihe auch konvergiert, wenn die x aus den komplexen Zahlen stammen würden. Auch für diese x müßte |x| < 1 gelten. Und das sind in der komplexen Ebene alle x, die innerhalb des Einheitskreises liegen.

06.05.2006, 22:31

Smarti

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achso...aber da es doch |x| ...würde es doch auch z.b. für -0.5 gelten..wäre dann der Radius nicht 2?

06.05.2006, 23:08

klarsoweit

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Du bist mir ein Spaßvogel! Augenzwinkern

Augenzwinkern

|x| < 1 bedeutet -1 < x < 1 Der Durchmesser wäre dann 2, aber der Radius ist trotzdem 1. Radius 1 bedeutet: gehe vom Mittelpunkt (x=0) 1 Einheit in jede Richtung.

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