periodische Funktionen

06.05.2006, 18:50

Linchen

periodische Funktionen

halli hallo, bin leider grad etwas überfordert mit meiner Mathe Hausaufgabe:

wir haben zwei Funktionen gegeben

$\begin{eqnarray*} f:[0, \pi] -> \mathbb R, f(x) := x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g:[0, \pi] -> \mathbb R, g(x) := x^2 \end{eqnarray*}$

nun sollen wir die Funktionen f und g auf drei verschiedene Arten 2 pi-periodisch fortsetzen und folgende Integrale berechnen:

$\begin{eqnarray*} a_n := \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi}~h(x) cos (nx)~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_n := \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi}~h(x) sin (nx)~dx \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb NO \end{eqnarray*}$ wobei h(x) die periodisch fortgesetzte Funktion ist.

---- soviel zur Aufgabe

also muss ich jetzt erst mal in f und g jeweils 2pi einsetzen und wie ich das auf die Integrale übertragen soll, ist mir ein Rätsel... unglücklich

vielen Dank fürs Lesen und für eure Antworten trotz des schönen Wetters smile

06.05.2006, 18:58

klarsoweit

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RE: periodische Funktionen
Also eine Funktion periodisch fortsetzen, bedeutet, daß du f bzw. g auf das Intervall $\begin{eqnarray*} [\pi, 2\pi] \end{eqnarray*}$ irgendwie fortsetzt. Dabei muß das noch nicht mal stetig sein.

06.05.2006, 19:03

Linchen

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ok also setze ich für f erst mal 2pi ^x ein? oder wie meinst du das?

06.05.2006, 19:08

klarsoweit

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RE: periodische Funktionen
Nein. Du sollst dir irgendeine Funktion auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [\pi, 2\pi] \end{eqnarray*}$ ausdenken. Das kann irgendwas sein. Meinetwegen f2(x) = 0. Oder auch f2(x)=x. Oder ...

06.05.2006, 19:11

Linchen

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wieso darf/ soll ich mir denn eine x-beliebige Funktion ausdenken? ich hab doch f und g gegeben.

und wenn ich mir jetzt f2 und g2 "ausgedacht" habe (können die auch gleich sein?) wie mach ich dann weiter?

angenommen ich habe jetzt

f2(x) = x
g2(x)...?

06.05.2006, 23:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von Linchen
wieso darf/ soll ich mir denn eine x-beliebige Funktion ausdenken? ich hab doch f und g gegeben.

Ja, aber nur auf dem Intervall von 0 bis pi. Von pi bis 2*pi kannst du irgendwas nehmen. Da gibt es tausende, Millionen, ach was, sag ich, unendlich viele Möglichkeiten. Ich würde da irgendeine konstante, bestenfalls noch lineare Funktion nehmen, damit das Integrieren nicht so schwer wird.

07.05.2006, 13:13

Linchen

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ok, also nehm ich für f mal x+1 un g = x+2

07.05.2006, 14:01

Linchen

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und wie mach ich dann schon wieder weiter traurig

07.05.2006, 15:51

klarsoweit

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Als erstes schreibst du deine Definition für die Funktion h hin. Und dann berechnest du die oben genannten Integrale.

PS: Darf ich fragen, wo man solche Aufgabe aufgebrummt bekommt?

07.05.2006, 15:55

Linchen

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und wie mach ich das? das soll jetz nicht rüberkommen als wäre ich total faul, aber es ist wahrscheinlich schwer zu verstehen, dass es wirklich Menschen gibt, für die das hier alles böhmische Dörfer sind...

Ich studiere Lebensmitteltech.

07.05.2006, 17:23

klarsoweit

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Und weswegen macht ihr da Fouriertransformation (das ist das nämlich)?
Nun, egal. Ich zeiche dir jetzt ein paar Möglichkeiten für h(x).

Von Null bis pi ist h(x)=x die rote Linie. Du kannst jetzt als Fortsetzung die rote, blaue, grüne oder lila Linie nehmen. Und dann kannst du die Integrale
$\begin{eqnarray*} a_n := \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi}~h(x) cos (nx)~dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_n := \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi}~h(x) sin (nx)~dx \end{eqnarray*}$
berechnen.

Damit es ein bißchen weiter geht, habe ich mal für
h(x)=x für 0<=x<=pi und h(x)=2*pi-x für pi<=x<=2*pi ein paar Werte berechnet:
$\begin{eqnarray*} a_0=\pi, a_1=\frac{-4}{\pi}, a_2=0, a_3=\frac{-4}{9\pi} \end{eqnarray*}$
b_n=0 für alle n

Daraus kann man nun die sogenannte Fouriertransformierte zur Funktion h aufstellen:
$\begin{eqnarray*} F_h(x)= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty~(a_n \cdot cos(nx) + b_n \cdot sin(nx)) = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \cdot cos(x) - \frac{4}{9\pi} \cdot cos(3x) - ... \end{eqnarray*}$

Und das sieht schon ungefähr aus wie die Funktion h. Augenzwinkern

Und weil es so viel Spaß macht noch eins für h(x)=x für 0<=x<=pi und h(x)=0 für pi<=x<=2*pi :

Bist du sicher, daß du nicht aus Versehen in eine Vorlesung fürs Mathe-Hauptstudium gestolpert bist? smile

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