Vektorrechnung: Bedingung für Viereck

Neue Frage »

Weyoune Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorrechnung: Bedingung für Viereck
Hallo Leute,

folgende Aufgabe:
Gegeben sind vier Punkte. Bestimmen Sie , ob es sich dabei um ein Viereck handelt.

A ( 2 / -1 / 5 )

B ( 3 / 2 / 1 )

C ( -4 / 2 / 1 )

D ( 4 / 1 / 3 )


Ich habe mir gedacht, dass vier Punkte nicht zwangsläufig ein (allgemeines) Viereck definieren, da es möglich ist, dass ein Punkt zwischen der Strecke zweier Punkte liegt und folglich es ein maximal ein Dreieck wäre. Jetzt habe ich die Überlegung angestellt, dass man einfach überprüfen muss, ob zwei Vektoren zueinander kollinear sind. Das Problem dabei ist jedoch, dass das man mit vier Punkten sechs verschiedene Vektoren bilden kann. Dadurch müsste man insgesamt 16 verschiedene Vektor-Kombinationen auf kollinearität überprüfen. Selbstverständlich könnte man beim ersten "Treffer" mit der Aufgabe aufhören, jedoch kann es mitunter doch schon sehr lange dauern. Deswegen ist meine Frage, ob es vielleicht eine einfachere (und schnellere) Möglichkeit dafür gibt?

Ich bedanke mich schonmal im Vorraus.

Michael
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Michael,

du könntest eine Gerade durch 2 der 4 gegebenen Punkte aufstellen und mit den anderen 2 Punkten eine Punktprobe machen und dann deine Schlüsse daraus ziehen Augenzwinkern

Gruß Björn
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde halt eine ebene durch 3 punkte (A,B, C) aufstellen:



und schauen, ob die minimalbedingung erfüllt ist:

Nubler Auf diesen Beitrag antworten »

is die frage nicht dahin trinial, dass n viereck nich einfach n polyeder mit 4 ecken ist?

weil, es liegt keine einschränkung in bezug auf entartungen vor
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nubler
is die frage nicht dahin trinial, dass n viereck nich einfach n polyeder mit 4 ecken ist?

weil, es liegt keine einschränkung in bezug auf entartungen vor


dazu mußt du dann den beitrag von bjoern1982 anschauen.

üblich
Weyoune Auf diesen Beitrag antworten »

@Bjoern1982

An sich gefällt mir deine Idee. Ich sehe dabei jedoch ein Problem. Nur weil die beiden Punkte nicht auf der Geraden liegen, heißt es nicht, dass man damit ein Viereck bilden kann:

[attach]8463[/attach]

Somit müsste man insgesamt wieder 6 Gleichungen bilden und zu jeder Gleichung eine entsprechende Punktprobe zu machen. Oder sehe ich da was falsch?
 
 
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht so ganz, in welche Richtung der Thread hier so trudelt:

Zuallererst sollte man doch prüfen, ob die 4 Punkte in einer Ebene liegen - so wie es Werner vorgeschlagen hat.

Wenn das nicht der Fall sein sollte, dann hat sich der Fall erledigt, dann kann es kein Viereck sein. Über eventuelle Entartungen sollte man sich doch erst Gedanken machen, wenn sicher ist, dass die 4 Punkte in einer Ebene liegen!
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

@ Weyoune

Du hast Recht, da war ich wohl etwas voreilig.

Wenn die Punktprobe gelingt hat man gewonnen aber wenn dein skizzierter Fall eintritt muss man wohl nochmal zwei Geraden aufstellen. Wenn A und B die Punkte sind, durch die man die erste Gerade aufgestellt hat und C ein Punkt ist, der in jedem Fall nicht auf dieser Geraden liegt, dann könnte man noch eine Gerade durch A,C und B,C bilden und wiederum eine Punktprobe mit dem verbleibenden Punkt D machen.

Ich hoffe mal dass jetzt alle Fälle abgedeckt sind verwirrt

Ansonsten frag nochmal bei werner nach, er hat da sicher mehr Erfahrung smile

Möglich wären im Übrigen auch noch 4 Winkelbestimmungen, denn sollte ein Viereck vorliegen, müsste die Winkelsumme 360 Grad ergeben.

Gruß Björn
m@he Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

also ich würde die Aufgabe immer wie folgt lösen:

Ich bilde die Ebenengleichung durch die Punkte A, B und D (man könnte auch andere nehmen, aber wegen der Anschauung nehme ich diese 3) in der Form:

x = 0A + s*BA + t*DA

Sind BA und DA linear abhängig, habe ich 3 Punkte auf einer Geraden => kein Viereck!

Jetzt ermittle ich für C die Parameter s und t. Gelingt mir das nicht, dann liegt C nicht mit in der Ebene (=> keine Viereck!), ansonsten erhalte ich zwei reelle Werte s und t. Für diese gilt dann:

s<0 und t<0 ODER s*t<0 und s+t<1: überschlagenes Viereck!

s=0 ODER t=0 ODER s*t<0 und s+t=1: 3 Punkte liegen auf einer Geraden => kein Viereck!

s*t<0 und s+t>1: entartetes (eingeschlagenes) Viereck!

s>0 und t>0: "normales" Viereck!

Ich hoffe keinen Fall vergessen zu haben.
m@he Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

hab' noch mal darüber nachgedacht, ich muß wohl eine kleine Korrektur nachschieben:

"s<0 und t<0 ODER s*t<0 und s+t<1: überschlagenes Viereck!"

wäre zu ändern in:

s<0 und t<0: entartetes (eingeschlagenes) Viereck und nicht ganz der Konvention entsprechend, was die Reihenfolge der Punkt-Bezeichnungen angeht!

s*t<0 und s+t<1: überschlagenes Viereck!

So, nun sollte es stimmen...
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »