versch. Aufgaben zur näherungsweisen Berechnung

07.05.2006, 14:26

mys

versch. Aufgaben zur näherungsweisen Berechnung

Hallo nochmal *g*

Ich hab schon wieder so meine Probleme mit z.B. folgender Aufgabe:

Bei Meinungsbefragungen werden erfahrungsgemäß nur ca. 80% der ausgesuchten Personen angetroffen. Mit welcher WS werden von 1200 Personen mehr als 900 angetroffen?

Mein Lösungsansatz:
n=1200
p=0,8
q=0,2
$\begin{eqnarray*} k \in [ 901 | 1200 ] \end{eqnarray*}$

Mü = n*p = 960

$\begin{eqnarray*} sigma = \sqrt{n*p*q} = 13,856 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1 = \frac{k_1 + 0,5 - Mue}{sigma} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_1 = \frac{901 + 0,5 - 960}{13,856} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_1 = -4,22 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2 = \frac{k_1 - 0,5 - Mue}{sigma} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_2 = \frac{1200 - 0,5 - 960}{13,856} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_2 = 17,28 \end{eqnarray*}$

So, da jetzt beide Werte über 3 sind wären beide Phi's 0 und die WS somit auch 0. Das kann doch aber irgendwie nicht sein...

also was hab ich falsch gemacht??

Hilfe wäre wie immer super Augenzwinkern

Cu, mys

07.05.2006, 14:31

Pr0

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$\begin{eqnarray*} P(X > 900) = 1 - P(X\leq 900) \approx 1 - \Phi \left( \frac{ 900 + 0,5 - \mu}{\sigma} \right) \end{eqnarray*}$
Mit $\begin{eqnarray*} \mu = n \cdot p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma = \sqrt{n\cdot p \cdot (1-p)} \end{eqnarray*}$ erhält man das gewünschte.

07.05.2006, 14:35

bil

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pro's ansatz ist besser als deiner, aber dein ansatz ist auch nicht falsch.
kommt in beiden fällen das gleiche raus.

gruss bil

07.05.2006, 14:36

Pr0

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Naja, k ist aber nicht 1200...

07.05.2006, 14:38

bil

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Zitat:

Original von Pr0
Naja, k ist aber nicht 1200...

was sonst?

$\begin{eqnarray*} P(901\leq X \leq 1200)=P(X\geq 901)=1-P(X\leq 900) \end{eqnarray*}$

07.05.2006, 14:39

mys

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ja.. ähm... ich komme trotzdem nicht weiter... in beiden Fällen fehlt mir das $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ?!

07.05.2006, 14:41

bil

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RE: versch. Aufgaben zur näherungsweisen Berechnung

Zitat:

Original von mys
So, da jetzt beide Werte über 3 sind wären beide Phi's 0 und die WS somit auch 0. Das kann doch aber irgendwie nicht sein...

das hatte ich vorhin überlesen... du hast ein wert unter 3 und einen über 3 und das ergibt natürlich nicht die wahrscheinlichkeit 0.

07.05.2006, 14:44

mys

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meine Tabelle geht aber nur bis z = +/- 3 und bei allem was darüber hinaus geht ist Phi 0, oder etwa doch nicht?

07.05.2006, 14:46

Pr0

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$\begin{eqnarray*} P(X > 900) = 1 - P(X\leq 900) \approx 1 - \Phi \left( \frac{ 900 + 0,5 - 960}{13,8564} \right) =1 - \Phi(-4,294) = 1 - (1 - \Phi(4,294)) \approx 1 \end{eqnarray*}$

07.05.2006, 14:46

bil

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Zitat:

Original von mys
meine Tabelle geht aber nur bis z = +/- 3 und bei allem was darüber hinaus geht ist Phi 0, oder etwa doch nicht?

nein, das stimmt ich. begründung:
Aufgabe zu Bernoulli-Kette und Normalverteilung

es gilt:

$\begin{eqnarray*} \Phi(17.28)\approx 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi(-4.22)\approx 0 \end{eqnarray*}$

07.05.2006, 14:53

mys

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achsooooo... =)

aber dann kommt doch trotzdem für P = -17,28 raus und das geht ja dann auch wieder nicht, weil es ja 1728% wären... ?!

07.05.2006, 14:56

Pr0

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07.05.2006, 14:57

bil

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ich glaub da hast du was falsch verstanden:

$\begin{eqnarray*} P(901\leq X \leq 1200) \end{eqnarray*}$ = die wahrscheinlichkeit mehr als 900.

und

$\begin{eqnarray*} P(901\leq X \leq 1200)=standardisieren=\Phi(17.28)-\Phi(-4.22)\approx 1=100% \end{eqnarray*}$

also nichts mit 1728%... Augenzwinkern

07.05.2006, 15:04

mys

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ich werd echt noch wahnsinnig hier geschockt

die Rechnung geht doch folgendermaßen:
$\begin{eqnarray*} P(901\leq X \leq 1200) = (\phi_1 * z_1) - (\phi_2 * z_2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(901\leq X \leq 1200) = (0 * -4,22) - (1 * 17,28) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(901\leq X \leq 1200) = -17,28 \end{eqnarray*}$

ich versteh nicht wieso das falsch ist unglücklich

07.05.2006, 15:09

bil

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Zitat:

Original von mys
ich werd echt noch wahnsinnig hier geschockt

ja da verstehst du etwas falsch. deine beiden z- werte setzt du in die Phi funktion ein, mehr nicht. multipliziert wird da garnichts mehr.siehe meinen vorigen post.

vll wäre es nicht schlecht wenn du dir das mal anschaust.
http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung

07.05.2006, 15:17

mys

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öh.. das is mir aber ganz neu *lol*

dann könnt ich ja auch einfach schreiben:
$\begin{eqnarray*} P(901\leq X \leq 1200) = \phi_1 - \phi_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(901\leq X \leq 1200) = 0 - 1 \end{eqnarray*}$

oder??

ist das immer so??
Weil ich hab ja auch schon mehrer Aufgaben so gerechnet mit den z-Werten drin und da gings..?!

07.05.2006, 15:24

bil

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Zitat:

ist das immer so??
Weil ich hab ja auch schon mehrer Aufgaben so gerechnet mit den z-Werten drin und da gings..?!

das ist immer so. ganz sicher!

Zitat:

Original von mys
dann könnt ich ja auch einfach schreiben:
$\begin{eqnarray*} P(901\leq X \leq 1200) = \phi_1 - \phi_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(901\leq X \leq 1200) = 0 - 1 \end{eqnarray*}$

oder??

das stimmt auch fast aber es bedeutet:

$\begin{eqnarray*} P(901\leq X \leq 1200) = \Phi_2 - \Phi_1 =\Phi(z_2)-\Phi(z_1)=\Phi(17.28)-\Phi(-4.22)\approx 1 \end{eqnarray*}$

07.05.2006, 15:36

mys

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super.. dann kann ich jetzt alles nochmal rechnen böse

naja, trotzdem wie immer vielen Dank!! smile

schon komisch, dass ich das im Unterricht nicht mitbekommen habe unglücklich

07.05.2006, 15:44

bil

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ich machs jetzt mal ganz genau, dann siehst du mal alle zwischenschritte und wieso du überhaupt eine tabelle benutzen musst:
zumindestens hätte das mal dein lehrer erwähnen können:

$\begin{eqnarray*} P(901\leq X\leq 1200)=P\left(\frac{901-\mu -0.5}{\sigma}\leq X* \leq \frac{1200-\mu +0.5}{\sigma}\right)=P(-4.3\leq X^*\leq 17.4) \end{eqnarray*}$

jetzt ist unsere zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X^* \end{eqnarray*}$ standardnormalverteilt bzw. N(0,1). (das ist auch der grund wieso du überhaupt standardisierst).

da man aber die wahrscheinlichkeit hier durch ein integral bzw. flächeninhalt bestimmt, muss man auch ein integral lösen:
hier gehts dann weiter:

$\begin{eqnarray*} P(-4.3\leq X^*\leq 17.4)=\frac{1}{2\pi}\int_{-4.3}^{17.4}e^{\frac{1}{2}x^2}dx=\Phi(17.4)-\Phi(-4.3) \end{eqnarray*}$

und weil man das integral nicht immer lösen will(und es auch garnicht so einfach ist) hat man einfach eine tabelle erstellt Augenzwinkern

. da man aber nicht unendlichviele tabellen erstellen konnte, hat man nur eine tabelle der standardnormalverteilung gemacht. und um diese tabelle nutzen zu können muss man immer erst einmal seine werte standardisieren.(minus mü durch sigma).

naja, wahrscheinlich verwirrt dich das noch mehr, aber jetzt weisst du wenigstens mal etwas darüber Augenzwinkern

gruss bil

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