Eine Topologie verstehen

07.05.2006, 21:33

Mazze

Eine Topologie verstehen

Wir haben die ganzen Zahlen und folgende Topologie drauf

$\begin{eqnarray*} T = \{ A \subseteq \mathbb{Z} ; \forall a \in A \exists b \in \mathbb{Z} \backslash \{0\} : a + b\mathbb{Z} \subseteq A \} \end{eqnarray*}$

Zu zeigen das dass eine Topologie auf Z ist hab ich geschafft. Nur fehlt mir das Verständnis wie diese Teilmengen denn überhaupt aussehen. Also wollt ich mal fragen ob mir wer sagen kann wie die ganzen A's aussehen smile

07.05.2006, 22:33

Abakus

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RE: Eine Topologie verstehen
Auf den ersten Blick bilden Mengen des Typs $\begin{eqnarray*} a + b\mathbb Z \end{eqnarray*}$ eine Basis der Topologie?

Wie hast du denn die Topologie-Eigenschaften bewiesen? Aus dem Beweis sollte sich ggf. eine Vorstellung der Mengen ergeben.

Grüße Abakus smile

07.05.2006, 22:58

Mazze

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Ich war auch erstaunt das ich die Topologieeigenschaften zeigen konnte ohne wirklich verstanden zuhaben wie diese aussieht. Also:

i) $\begin{eqnarray*} \varnothing, \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

war nicht schwer

ii) war dann das schwere, ich habe also eine endliche Indexmenge I gewählt und angenommen:

$\begin{eqnarray*} a \in \bigcap_{i \in I} A_i \end{eqnarray*}$

da a im Schnitt kann ich $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ finden (Vorrausetzung) so das

$\begin{eqnarray*} a + b_i\mathbb{Z} \subseteq A_i \end{eqnarray*}$ also

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{i \in I} (a + b_i\mathbb{Z}) \subseteq \bigcap_{i \in I} A_i \end{eqnarray*}$

und mit $\begin{eqnarray*} b' = \frac{b_1 \cdot b_2 \cdot ... \cdot b_n}{ggT(|b_i|)} \end{eqnarray*}$

ist immer

$\begin{eqnarray*} a + b'\mathbb{Z} \subseteq \bigcap_{i \in I} (a + b_i\mathbb{Z}) \subseteq \bigcap_{i \in I} A_i \end{eqnarray*}$

iii) war wieder klar.

Ich wollte immer mal eine Menge einfach angeben die die Eigenschaft erfüllt aber aus Z selbst find ich da nix. Naja, die geraden Zahlen als Teilmenge liegen wohl drin, zu jedem a find ichn b so das b mal Z wieder gerade ist. Aber so richtig seh ich da nicht durch verwirrt

08.05.2006, 11:57

Abakus

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Dein b' ist das KGV. Ich setze mal a := 2, b := 5:

$\begin{eqnarray*} C_1 = \{..., -8, -3, 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52, ...\} \end{eqnarray*}$ ,

oder a := 3, b := 7:

$\begin{eqnarray*} C_2 = \{..., -11, -4, 3, 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, ...\} \end{eqnarray*}$ ;

dann ist:

$\begin{eqnarray*} C_1 \cap C_2 = \{..., -18, 17, 52, 87, ...\} \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} C_1 \cup C_2 = \{..., -11, -8, -4, -3, 2, 3, 7, 10, 12, 17, ...\} \end{eqnarray*}$ .

Grüße Abakus smile

08.05.2006, 19:48

Mazze

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Na so sieht das schon nach was aus! Danke smile

Zitat:

Dein b' ist das KGV

Ich hab es jetzt nich KgV genannt weil ich nicht ganz sicher war ob's den Begriff auch für die ganzen Zahlen in der Form gibt.

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