Wahrscheinlichkeit berechnen

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mimcho Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit berechnen
Hallo zusammen,

ich habe folgendes Problem und hoffe, dass mir dabei jemand helfen kann, da ich von Wahrscheinlichkeitrechnung keine Ahnung habe.

Ich möchte die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass eine 7-stellige Zahl mit den Ziffern 0...9 und eine 5-stellige Zahl mit den Ziffern 0...9 komplett verschieden sind.

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand bei der Lösung helfen kann.

Schöne Grüsse,
Maria
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Was bedeutet es, wenn du sagst, dass sie komplett verschieden sind? Bedeutet es, dass nicht an der gleichen Stelle der einen Zahl die gleiche Ziffer wie bei der anderen stehen darf. Also, dass bei der 7-stelligen Zahl die 6. und 7. Stelle nicht wirklich betrachtet werden müssen?
mimcho Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstamal für die schnelle Antwort. Also ich meine, dass die Ziffern, die in der 5-stellige Zahl vorkommen verschieden sind als die in der 7-stellige an jeder Stelle, z.B 1233234 und 57867.

Irgendwie komme ich aber auf die Lösung nicht drauf unglücklich .

Gruss,
Maria
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Also suchst du die Warscheinlichkeit dafür, dass alle Ziffern, die in der ersten Zahl verwendet werden, nicht in der Zweiten vorkommen und das bei zufällig gewählten Zahlen.

Hilft dir vielleicht schon diese Formulierung deines Problems weiter?
mimcho Auf diesen Beitrag antworten »

ja das stimmt,aber es hilft mir nicht wirklich weiter ...unglücklich
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wie immer bei solchen Fragen:

Akzeptierst du "führende" Nullen? D.h., ist 0384921 bei dir eine 7stellige Zahl, oder soll das wie meist üblich nicht zugelassen werden?
 
 
mimcho Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, keine führende Nullen sind zugelassen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, dann müsste



herauskommen. Dabei gehe ich natürlich von Gleichverteilung in der Menge der fünfstelligen Zahlen , und ebenso auch von Gleichverteilung in der Menge der siebenstelligen Zahlen aus.



Die Rechnung kurz skizziert:

Man betrachtet die Fälle, dass die fünfstellige Zahl genau verschiedene Ziffern enthält (k=1..5), und da jeweils auch noch die Unterfälle, ob die Ziffer 0 dabei ist oder nicht. Dann kann man in jedem der Fälle einmal die Anzahl der fünfstelligen Zahlen bestimmen, die in den Fall reingehören, und zum anderen die mögliche Anzahl der siebenstelligen Zahlen bestimmen, die jeweils einer dieser fünfstelligen Zahlen so zugeordnet werden kann, dass die Aufgabenbedingung erfüllt ist.

Und am Ende alle Fälle zusammenschütten, gut durchrühren - will sagen, die Anzahlen summieren. Augenzwinkern


EDIT: Nein, die Zahl (*) stimmt nicht, da ist noch ein Berechnungsfehler drin, da war ich etwas voreilig - wird korrigiert. Augenzwinkern
Die Skizze ist aber dennoch richtig.


EDIT2: Der korrigierte Wert ist



Aber nach der Pleite oben ohne jede Gewähr. smile
mimcho Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank für die berechnung, aber irgendwie blicke ich das nicht so ganz durch,kannst du das einbischen ausführlicher beschreiben, wie sieht den so einen fall aus für eine Ziffer.

Danke smile
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann mal etwas detaillierter: Zu bestimmen ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses

... die siebenstelllige Zahl enthält keine Ziffern, die bereits in der fünfstelligen Zahl auftauchen

Jetzt betrachten wir folgende Hilfsereignisse:

... die fünfstellige Zahl enthält genau verschiedene Ziffern, es ist keine Null dabei (k=1..5)

... die fünfstellige Zahl enthält genau verschiedene Ziffern, die Null ist dabei (k=2..5)

Offenbar ist eine disjunkte Zerlegung des W-Raumes, die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit ergibt dann

.


Jetzt erstmal zum einfacheren Teil, der Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten:

Im Fall verbleiben zur Bildung der siebenstelligen Zahl genau Ziffern, worunter die Ziffer Null ist. Also gibt es für die erste Ziffer der siebenstlligen Zahl genau Möglichkeiten, für die restlichen sechs Stellen jeweils Möglichkeiten, es ist demnach



Im Fall verbleiben zur Bildung der siebenstelligen Zahl genau Ziffern, die Ziffer Null ist hier nicht dabei. Dann gibt es für jede der sieben Stellen jeweils Möglichkeiten, es ist also

.

Im schwierigeren Teil, der Berechnung der Fallwahrscheinlichkeiten und wird man - oh Schreck - nicht um die liebe Siebformel herumkommen. Bei deren Anwendung war mir dann gestern auch der obige Fehler unterlaufen. Augenzwinkern
mimcho Auf diesen Beitrag antworten »

Ein sehr grosses Dankeschön für die ausführliche Erklärungen, es wae wirklich hilfreich.

Ich habe das nachgerechnet, aber ich komme auf ein anderes Ergebnis, vielleicht liegt es ja an P(Ak) und P(Ak), ich habe sie folgen definiert:

P(Ak)= 1/((9-k)!/(9-5)!) für k=1...5 und
P(Ak)=1/((10-k)!/(10-5)!) für k=2...5

Ist das richtig oder liege ich falsch?

Vielen Dank!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Da liegst du falsch, die Berechnung von und ist erheblich komplizierter. Ich hab das Stichwort "Siebformel" nicht umsonst fallen lassen, die Berechnung läuft so ähnlich wie hier.
mimcho Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also sollte man den Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten benutzen, aber wie sollte das für A1,A2...,A5 bzw. B1,B2,..,B5 aussehen, ich komme da irgendwie nicht zu recht.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Bewundernswert, wie Artur das komplett analytisch aufgedröselt hat. Ich habe das mal mit Halb-Brute-Force vom Rechner machen lassen und bin auf das gleiche Ergebnis gekommen.

Halb-Brut-Force soll heißen:
Alle 5-stelligen Zahlen durchgehen. Zu jeder Zahl die Anzahl der ziffernfremden 7-stelligen Zahlen berechnen. So, wie bei Artur angegeben mit Falluntescheidung, ob die 5-stellige Zahl die Ziffer 0 enthält oder nicht. Alles aufaddieren und das Ergebnis durch 81*10^10 teilen.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Halb-Brutforce - hab ich übrigens zur Kontrolle auch gemacht. Augenzwinkern

Zum analytischen Teil: Die Endformel für die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte -stellige Zahl keine Ziffern mit einer anderen zufällig gewählten -stelligen Zahl im Zahlensystem zur Basis hat, lautet:

.

Durchaus möglich, dass man diese Doppelsumme noch irgendwie vereinfachen kann, ich seh's im Moment allerdings nicht. Für unseren Fall ergibt sich nun

.
mimcho Auf diesen Beitrag antworten »

Super, vielen Dank!

Wie würde das aussehen aber für die Wahrscheinlichkeiten für einen oder zwei Treffer, also das eine Ziffer oder zwei Ziffer gleich sind in der 5-stelligen und 7-stelligen Zahl.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Sag mal: Denkst du dir die Aufgaben aus, oder verlangt das wirklich jemand von dir? Augenzwinkern
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