Schnittobjekte

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08.05.2006, 15:11

Gery

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Schnittobjekte

sorry

08.05.2006, 17:43

Leopold

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Nehmen wir einen Zylinder vom Grundkreisradius $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ , der zur dritten Achse, der $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Achse, symmetrisch liegt. Er läßt sich durch die Gleichung

$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = r^2 \end{eqnarray*}$

beschreiben. Die hier nicht vorkommende $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Koordinate kann beliebig gewählt werden.

Eine Gerade wird mit Hilfe dreier linearer Gleichungen und eines Parameters $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ beschrieben:

$\begin{eqnarray*} x = a + tu \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = b + tv \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z = c + tw \end{eqnarray*}$

oder vektoriell:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} + t \, \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt muß man nur die Terme für $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ aus der Beschreibung der Geraden in die Zylindergleichung einsetzen, $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ berechnen und mit den Werten für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ in die Gerade gehen. So bekommt man die Schnittpunkte von Gerade und Zylinder.

08.05.2006, 18:26

Gery

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Sorry

08.05.2006, 18:29

Leopold

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$\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ muß auch noch bekannt sein, es sei denn, die Aufgabe ist für einen Zylinder von beliebigem Radius zu lösen.

Für die Berechnung der $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ -Werte spielt die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Koordinate keine Rolle, wohl aber für die anschließende Berechnung der Schnittpunkte mit Hilfe der Geraden.

08.05.2006, 18:38

Gery

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sorry

08.05.2006, 18:45

Leopold

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Ich kann deine Rechnung nicht nachvollziehen. Zunächst heißt es in einem früheren Post $\begin{eqnarray*} z = 5-t \end{eqnarray*}$ , jetzt rechnest du aber anscheinend mit $\begin{eqnarray*} z = 4-t \end{eqnarray*}$ . Was gilt?

Und dann habe ich einen ganz schlimmen Verdacht ...

nlemrof ehcsimonib

08.05.2006, 19:01

Gery

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sorry

08.05.2006, 19:49

Leopold

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Zitat:

Original von Gery
Hab ich wieder einmal alle mathematischen Regeln über den Haufen geworfen

Ein eindeutiges JA!

1. siehe meinen vorigen Beitrag ganz unten

2. Bei $\begin{eqnarray*} 9t^2 + t^2 = -34 \end{eqnarray*}$ hast du offenbar durch $\begin{eqnarray*} 9 \end{eqnarray*}$ dividiert. Dabei mußt du aber auch den zweiten Summanden $\begin{eqnarray*} +t^2 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 9 \end{eqnarray*}$ dividieren. Und überhaupt faßt man da zuerst zusammen: $\begin{eqnarray*} 9t^2 + t^2 \end{eqnarray*}$ sind nämlich $\begin{eqnarray*} 10t^2 \end{eqnarray*}$ . Aber das Ganze war ja von vorneherein falsch; siehe 1.

09.05.2006, 10:24

Gery

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Sorry

09.05.2006, 10:54

Leopold

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Oh jeh! Du machst ja alles noch schlimmer!

$\begin{eqnarray*} y^2 + z^2 = r^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (y+z)^2 = r^2 \end{eqnarray*}$

NEIN!

Eben weil, wie du im nächsten Schritt richtig rechnest,

$\begin{eqnarray*} (y+z)^2 = y^2 + 2yz + z^2 \end{eqnarray*}$

gilt, kann nicht auch $\begin{eqnarray*} y^2 + z^2 = (y+z)^2 \end{eqnarray*}$ gelten. Das kannst du ganz elementar überprüfen.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} y=3, \, z = 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (3+5)^2 = 8^2 = 64 \end{eqnarray*}$

Die Ergebnisse stimmen offenbar nicht überein.

Dagegen:

$\begin{eqnarray*} 3^2 + 2 \cdot (3 \cdot 5) + 5^2 = 9 + 30 + 25 = 64 \end{eqnarray*}$

Die Ergebnisse von $\begin{eqnarray*} (y+z)^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y^2 + 2yz + z^2 \end{eqnarray*}$ stimmen überein.

Richtig geht die Rechnung so:

$\begin{eqnarray*} y^2 + z^2 = r^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt die Terme für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ aus der Geradendarstellung sowie $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ einsetzen:

$\begin{eqnarray*} (-5 + 3t)^2 + (4-t)^2 = 4^2 \end{eqnarray*}$

Unter den Quadraten links stehen SUMMEN. Zur Auflösung sind die binomischen Formeln zuständig:

$\begin{eqnarray*} (-5)^2 + 2 \cdot ((-5) \cdot 3t) + (3t)^2 \ \ \ + \ \ \ 4^2 - 2 \cdot (4 \cdot t) + t^2 = 16 \end{eqnarray*}$

Und weiter rechne ich das jetzt nicht vor.

Du hast dermaßen Lücken im Elementarbereich, daß ich keine Chancen sehe, daß du dich sinnvoll mit dem Thema "Zylinder und Gerade" auseinandersetzen kannst, wenn es dir nicht gelingt, diese Lücken zu schließen. Ich kann dir daher nur dringend ans Herz legen, dich mit dem Themengebiet "Lineare Gleichungen" und "Quadratische Gleichungen" und den dazu erforderlichen Techniken wie Ausmultiplizieren, Ausklammern, binomische Formeln, Vorzeichenregeln, Klammerregeln usw. eingehend zu beschäftigen. Üben, üben, üben ...

Bitte meiner klaren Worte wegen nicht böse sein! Aber besser jemand sagt dir jetzt die Wahrheit, als daß du irgendwelchen Illusionen anhängend hinterher frustiert aufgeben mußt.

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