Nullstellen v. funktionen n. Grades

08.05.2006, 18:24

Risuku

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Nullstellen v. funktionen n. Grades

Tag erstmal. Schreibe wieder Klausur und es gibt etwas was ich nich verstehe *g*

also habe hier eine aufgabe (muss ich jetzt nich hier hinschreiben.) diese ist eine Funktion 4ten Grades. Ich weiß das ich die Nullstellen bei quadratischen Funktionen durch die pq formel bekomme. Und neuerdings weiß ich auch das ich Funktionen 3ten Grade durch die Polynomdivision lösen kann ( Nullstellen ). Nur weiß ich jetzt nich wie ich das bei einer Funktion 4ten Grades machen kann. Erstmal die Frage wieviel Nullstellen haben die einzelnen Funktionen

Hoch 2 = max 2 Lösungen
hoch 3 = max 3 Lösungen
hoch 4 = max.....
usw.

gibts dafür irgendein gesetzt? also das dann hoch 10 10 Nullstellen hat? oder das alle ungeraden 3 Nullstellen haben und alle gerade nur 2?

----------------------------------

zweite große frage ist eigentlich nur ne klarstellung Augenzwinkern

Augenzwinkern

es wird vorkommen "Untersuche die Funktion .....". Dazu gehört halt Nullstellen, Wendepunkte, Extremstellen. symmetrie UND auch die frage "Verhalten von $\begin{eqnarray*} x -> \pm \infty \end{eqnarray*}$ " Ich denke mir das so. Also x -> $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ heißt das der graph von links kommt. Bei $\begin{eqnarray*} -3* 3^{3} \end{eqnarray*}$ heißt das halt das er dann von oben links kommt und bei x -> $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ verschwindet der graph rechts unten. richtig?

gruß kai

08.05.2006, 18:34

Frooke

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Grundsätzlich kann man bis zum 4. Grad mit Cardanoformeln lösen.

Polynomdivision geht (wenn man eine Nullstelle findet) bis zum n-ten Grad.

Biquadratische Gleichungen der Form

$\begin{eqnarray*} ax^4+bx^2+c=0 \end{eqnarray*}$

können durch Substitution und pq-Formel gelöst werden.

Zu den Lösungen: Allgemein hat ein Polynom n-ten Grades mit n ungerade mindestens eine Nullstelle und höchstens n reelle Nullstellen. Es hat aber in jedem Fall n komplexe Nullstellen

Ein Polynom n-ten Grades mit n gerade muss keine Nullstelle haben, hat aber auch höchstens und höchstens n reelle Nullstellen. Es hat auch in jedem Fall n komplexe Nullstellen.

Und zu dem hier:

"Untersuche die Funktion ....."

Da muss die Fragestellung präziser sein. Aber in der Regel sind es die von Dir genannten Punkte.

08.05.2006, 18:52

DGU

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nähere Informationen zu dem "Gesetz":
http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsatz_der_Algebra

08.05.2006, 21:50

Risuku

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also ich habe folgende aufgabe:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{4} x^{4} - 2x^{2} +2 \end{eqnarray*}$

f(x) = 0 sollte so sein.
also nochmal. woran seh ich erstmal wieviele nullstellen diese funktion mind und höchstens hat. Wie komme ich dann an die lösungen. Die aufgabe ist hier sehr gut vor gemacht nur ich versteh nicht wie die das meinen.

"Wir setzen x² = z , x^4=z² und lösen die entstehende Quadratische Gleichung." Wie soll ich das bitte verstehen?

Dann ist mir noch aufgefallen bei den Extremstellen. An den stellen muss ja die Ableitung also Steigung = 0 sein. und die zweite ableitung halt ungleich 0 ob größer oder kleiner ist jetzt nicht so wichtig. die 1. Ableitung ist ja folgende:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= x^{3}-4x = 0 \end{eqnarray*}$

da steht es kommen 3 stellen raus nur ich weiß einfach nichtmehr wie ich an die 3 lösungen komme. Ich denke bei mir happert es einfach am Verständniss für die Exponenten unglücklich

unglücklich

ich weiß lediglich wie ich an Nullstellen Quadratischer Funktionen komme. Durch pq Formel, Und halt durch polynomdivision bei Kubischen Funktionen. um ebendfalls die Nullstellen zu berechnen. Aber wenn es darum geht zB bei einer ableitung 3.Grades an in dem fall 3 Extremstellen zu kommen setz bei mir alles aus unglücklich

unglücklich

----------------------------------------
achja noch zu wende punkten und sattelpunkten. Also wende punkt benötigt ja die 2. Ableitung = 0 und die 3. Ableitung ungleich 0. Liegt ein Sattelpunkt vor wenn in den errechneten Wendepunkten beim einsetzen in die 1.Ableitung 0 rauskommt? also steigung 0!

08.05.2006, 21:55

JochenX

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Zitat:

Original von Risuku
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{4} x^{4} - 2x^{2} +2 \end{eqnarray*}$
[...]
"Wir setzen x² = z , x^4=z² und lösen die entstehende Quadratische Gleichung." Wie soll ich das bitte verstehen?

genau, wie es da steht, ersetze doch mal x^2=z
dann bekommst du die neue Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}z^2-2z+2=0 \end{eqnarray*}$ , die du lösen können solltest...
Berechne dann also erst mal, welche z das erfüllen----

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= x^{3}-4x = 0 \end{eqnarray*}$

da steht es kommen 3 stellen raus nur ich weiß einfach nichtmehr wie ich an die 3 lösungen komme.

Klammere x aus.... wann wird ein Produkt 0?

schlechte Alternative hast du schon als bekannt genannt:
x=0 erraten, danach PD durch (x-0) machen...

08.05.2006, 21:57

rain

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eins nach dem anderen,
das nennt sich substitution was dort gemacht wurde mit dem z=x²
schreibe mal die gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} x^{4}-2x²+2=0 \end{eqnarray*}$
mit dieser substitution auf,dann wirst du automatisch sehen was der sinn ist.

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08.05.2006, 22:22

Risuku

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also das mit dem x^4 = z² check ich jetzt. also bei Funktionen 4ten Grade mach ich dann diese substitution und so bekomme ich eine quadratische gleichung. das bringt mir 2 Nullstellen aber sind das denn auch nur 2 nullstellen ? dachet eine funktion 4.Grades hat bis zu 4 nullstellen.

und bei dem problem mit den extremstellen muss ich bei der kubischen Ableitung (die erste hier) das x ausklammern und schauen wann der therm 0 ergibt hier dann wenn x=0 ist oder wenn das was in der klammer steht hier dann x²-4 =0 . da müsste ich also einen weiterne schritt noch machen was dann x= 2 ergeben würde also mach ich folgendes f'(x) : (x-2) oder?

was mich mal interesiert. kann ich PD bei jedem fall von Kubischen Funktionen einsetzen . also wenn ich extremstellen oder nullstellen oder was weiß ich errechen will?

08.05.2006, 22:31

JochenX

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Zitat:

das bringt mir 2 Nullstellen aber sind das denn auch nur 2 nullstellen ? dachet eine funktion 4.Grades hat bis zu 4 nullstellen.

Du bekommst maximal 2 Werte für z; allerdings können die je von bis zu 2 Werten x erreicht werden.

Nehmen wir z.B. an, du bekämst z=1 und z=4 als Lösungen.
Dann müsstest du noch schauen, für welche x x^2=z gültig wäre....

Das wären alle x für die x^2=1 oder x^2=4 gelte.
Also x=1, x=-1, x=2, x=-2.

Analog würde z.B. z=-1 zu KEINER Lösung führen (x^2=-1 nicht lösbar).

08.05.2006, 23:13

Risuku

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also habe das mal mit der substitution probiert.

für die nullstellen also. da würde statt : $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} x^{4} - 2x^{2} +2 \end{eqnarray*}$

dann folgendes rauskommen:

$\begin{eqnarray*} z^{2} - 8z +8 \end{eqnarray*}$

dabei benutze ich dann die pq formel.

$\begin{eqnarray*} -\frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^2 -q} \end{eqnarray*}$

da setze ich dann mein p=- 8 q=8 rein.

wenn ich das mache kommt aber folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} 4 \pm \sqrt{{(\frac{-8}{2})}^2 -8} \end{eqnarray*}$

ok dann sind z - Werte
$\begin{eqnarray*} z= 4+\sqrt{8} \end{eqnarray*}$ = 6.83
$\begin{eqnarray*} z= 4-\sqrt{8} \end{eqnarray*}$ = 1.17

sollte stimmen smile

smile

dann kommen halt die richtigen nullstellen ran. also x² = z heißt das die Nullstellen FOlgende sind:

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{6.83} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{1.17} \end{eqnarray*}$

bei beiden erhalte ich ja durch das Wuzel zieht 2 Nullstellen also insgesammt 4 Augenzwinkern

Augenzwinkern

steht am ende auch so im buch Augenzwinkern

Augenzwinkern

gut dann jetzt wegen meinem Extremwertte Prob. also die Ableitung dieser Funktion ist halt 3.Grades. muss ich dann auch die PD anwenden nachdem ich eine stelle geraten habe bei der f'(x)= 0 ist?

08.05.2006, 23:15

JochenX

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p,q-Formel nur anwenden, wenn der Faktor vor dem z^2 1 ist.
Hier musst du also erst die ganze Gleichung mal 4 nehmen, dann kannst du die Formel verwenden.

08.05.2006, 23:25

Risuku

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Zitat:

Original von Risuku

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{6.83} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{1.17} \end{eqnarray*}$

bei beiden erhalte ich ja durch das Wurzel zieht 2 Nullstellen also insgesammt 4 Augenzwinkern

Augenzwinkern

steht am ende auch so im buch Augenzwinkern

Augenzwinkern

gut dann jetzt wegen meinem Extremwertte Prob. also die Ableitung dieser Funktion ist halt 3.Grades. muss ich dann auch die PD anwenden nachdem ich eine stelle geraten habe bei der f'(x)= 0 ist?

Augenzwinkern

08.05.2006, 23:32

JochenX

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joa, rechne das jetzt nicht nach, sieht aber besser aus

Zitat:

was mich mal interesiert. kann ich PD bei jedem fall von Kubischen Funktionen einsetzen . also wenn ich extremstellen oder nullstellen oder was weiß ich errechen will?

klar, Hauptsache der Form "Polynomgleichung=0", ist doch egal, was du damit berechnen willst.

du hattest x^3-4x=0, wie gesagt hier kommst du am schnellsten zum Ziele, wenn du x ausklammerst.
Das kommt dem Verfahren der PD mit Abspalten von (x-0) gleich, aber x-0=x kann man natürlich einfacher abspalten.

08.05.2006, 23:55

Risuku

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ok geht super danke dir Augenzwinkern

Augenzwinkern

nur noch zu meiner sattelpunkt frage Big Laugh

Big Laugh

also ein wendepunkt und sattelpunkt sind sich ja sehr ähnlich außer das beim sattelpunkt m = 0 is Augenzwinkern

Augenzwinkern

um zu schauen ob ein wendepunkt ein sattelpunkt ist muss ich doch in die erste ableitung den punkt einsetzen und da muss 0 rauskommen oder?

09.05.2006, 00:19

JochenX

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richtig, es gilt:
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente
Also: jeder Sattelpunkt ist ein Wendepunkt, andersrum gilt das nicht.

Wenn du weißt, dass (u,v) ein Wendepunkt von f(x) ist, dann prüfst du f'(u), das ist richtig.
Üblicherweise findest du aber meistens f'(u)=0 zuerst und findest dann (z.B. wegen fehlendem Vorzeichenwechsel) heraus, dass hier kein Extrema vorliegt.... Dann muss es ein Sattelpunkt sein.

Ich nehme ja mal an, dass du Extremasuche vor der Wendepunktsuche durchführst und bei der Extremasuche fallen die Sattelpunkte (wegen der gleichen notwendigen Bedingung der waagrechten Tangente) meistens mit ab...

09.05.2006, 00:31

Risuku

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ok danke dir Augenzwinkern

Augenzwinkern

hast mir echt geholfen smile

smile

wieder mal ein lohnenswerter besuch hier im Forum . Und noch einen gute Nacht.

gruß smile

smile

09.05.2006, 18:56

Risuku

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nochmal nach oben shieb Big Laugh

Big Laugh

habe noch eine frage. also ich will eine extremstelle errechnen. die ableitung is kubisch habe also eine stelle mal für die PD geraten. muss ich jetzt bei einer x stelle von 1/2 folgendes rechnen:

f(x) : (x-1/2) =.....
oder

f'(x) : (x-1/2) =.....

09.05.2006, 18:59

JochenX

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Es ging um die Nullstellen von f'(x).
Also musst du (x-0.5) auch von der Polynomgleichung f'(x) abspalten.

Was für einen Sinn macht es, das bei f(x) zu versuchen?

Wie schon gesagt: vergiss bei sowas für einen Moment, dass es um Funktionen und/oder Extrema und.... geht.

Es geht einfach um eine Gleichung der Form POLYNOM=0 und dann machst du alles (z.B. die PolDiv) mit diesem UND KEINEM ANDEREN Polynom.

09.05.2006, 19:04

Risuku

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also muss ich halt f'(x) / (x-1/2) = .....

aber bei dieser aufgabe :

$\begin{eqnarray*} f(x)= x^{4}-\frac{1}{2} x \end{eqnarray*}$

is die ableitung also

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 4x^{3}-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

also dann folgendes:

$\begin{eqnarray*} (4x^{3}-\frac{1}{2}) : (x-0.5) \end{eqnarray*}$

ps. ja es geht jetzt um die Extremstellen Augenzwinkern

Augenzwinkern

nullstellen mache ich ja mit f(x)=0
hier geht es um f'(x)= 0

da frage ich mich halt ob ich folgendes richtig denke:

Nullstellen PD:

f(x) : (x+x1)
x1 soll eine geratene Nullstelle sein.

Extremstellen PD:

f'(x) : (x+x2)
x2 soll eine geratene Extremstelle sein.

allgemein : mach ich die polynom division zb. mit f(x) wenn f(x)=0 sein soll?
und pd mit f'(x) wenn zB. Extremstellen mit m=0 berechnet werden solln?

09.05.2006, 19:36

JochenX

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wie gesagt, vergiss einfach, woher dieses Polynom kommt.

Wenn du f'(x)=0 hast und dadurch die Gleichung $\begin{eqnarray*} 4x^3-\frac{1}{2}=0 \end{eqnarray*}$ hast, dann berechnest du eben die Lösungen dieser Gleichung.
Das das f'(x) ist, ist doch für die Berechnung der Lösungen völlig egal.

Und dann kommst du auch nie auf die Idee, deine PD mit einer anderen Gleichung durchzuführen.

sei p(x) beliebiges Polynom und a NST, dann kannst du (x-a) abspalten und findest das Restpolynom durch Polynomdivision p(x)/(x-a).
Völlig egal, ob p(x) dabei dein f ist oder dein f' oder.....

09.05.2006, 19:52

Risuku

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puh da ist man einmal in mathe nich da und schon sowas unglücklich

unglücklich

also ich blick da nur schwer durch unglücklich

unglücklich

ich habe also wie bei meiner aufgabe

$\begin{eqnarray*} (4x^{3}-\frac{1}{2}) : (x-0.5) \end{eqnarray*}$

das sieht für mich so aus als würde es nicht gehen unglücklich

unglücklich

wenn ich allerdings f(x) : (x-0,5) teile geht das sehr schön auf. nur ich such ja stellen bei den f'(x)=0 is ^^ was mache ich denn wenn ich aufeinmal sowas da stehen habe:

$\begin{eqnarray*} (4x^{3}-\frac{1}{2}) : (x-0.5) \end{eqnarray*}$

also ich bekomme da ja =4x² raus aber dann müsste ichja die 4x² * -0,5 nehmen und die von 1/2 abziehen. das ergibt für mich keinen sinn unglücklich

unglücklich

09.05.2006, 20:48

JochenX

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das geht schon auf....

wenn dich die Brüche stören, dann kannst du wie gewohnt deinen Bruch mit 2 eweitern
du bekommst dann das bruchfreie $\begin{eqnarray*} (8x^3-1) : (2x-1) \end{eqnarray*}$

Zitat:

also ich bekomme da ja =4x² raus aber dann müsste ichja die 4x² * -0,5 nehmen und die von 1/2 abziehen. das ergibt für mich keinen sinn unglücklich

unglücklich

Polynomdivision wiederholen! du musst das natürlich vom GANZEN abziehen.

09.05.2006, 21:13

Risuku

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also wie du gesagt hast mal mit 2 erweitern

$\begin{eqnarray*} (8x^{3}-1) : (2x-1) \end{eqnarray*}$

ich teile das also.

so sieht das dann bei mir aus :

http://img446.imageshack.us/img446/6830/rechnung7zq.jpg

wie sieht denn deine lösung nach dem = aus?

OHHHHH also könnte es vllt daran liegen das es nich aufgeht das die funktion nur eine extremstelle hat? habe den graphen mal online zecihnen lassen und die einzigste extremstelle is halt bei +1/2.

09.05.2006, 22:04

JochenX

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doch das geht auf!
du musst ja nur abziehen!

Es ist $\begin{eqnarray*} (8x^3-1)-(8x^3-4x^2)=4x^2-1 \end{eqnarray*}$ , rechne es nach.
Vorher hast du 0x^2, davon ziehst du -4x^2 ab; macht insgesamt +4x^2; die -1 bleibt stehen und weiter gehts.

09.05.2006, 22:20

Risuku

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oh hast recht lol Big Laugh

Big Laugh

also wenn ich da rechne habe ich 4x² +2x +1 raus. könntes vllt schauen was du da raus bekomms?

09.05.2006, 22:36

JochenX

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in anbetracht der Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} (4x^2-1) \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} (2x-1)(2x+1) \end{eqnarray*}$ [Binom] ist, stimmt das, ohne dass ich für die restliche PD Papier brauche. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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